ガロア拡大体 GF(2^4) と GF(2^8) のべき表現とベクトル表現の一覧を示します。

ガロア拡大体 GF(2^4)

$\mathrm{GF}(2^4)$ で法既約多項式が $x^4 + x + 1$ のとき

# SageMathで計算する例
G.<a> = GF(2^4)
for i in range(G.order()):
  print('%2d: %s' % (i, a^i))

ガロア拡大体 GF(2^8)

$\mathrm{GF}(2^8)$ で法既約多項式が $x^8 + x^4 + x^3 + x^2 + 1$ のとき

# SageMathで計算する例
G.<a> = GF(2^8)
for i in range(G.order()):
  print('%2d: %s' % (i, a^i))

補足

拡大体の一覧の表を生成するためのプログラム (SageMath)

size = 8
G.<a> = GF(2^size)

def term_str(exponent):
  if exponent > 1:
    return 'a^{%d}' % exponent
  elif exponent == 1:
    return 'a'
  elif exponent == 0:
    return '1'

for i in range(G.order()):
  vec = (a^i)._vector_()
  coefs = vec
  binary = ''.join([ str(x) for x in reversed(list(vec)) ])
  poly_str = ''
  has_prev_term = False
  for j in range(size-1, -1, -1):
    if coefs[j] == 0:
      poly_str += '\\;\\phantom{'
    if coefs[j] == 1 and has_prev_term:
      poly_str += '+'
    if coefs[j] == 0 and j != (size - 1):
      poly_str += '+'
    poly_str += term_str(j)
    if coefs[j] == 0 and j > 0 and coefs[j-1] == 1 and not has_prev_term:
      poly_str += '+'
    if coefs[j] == 0:
      poly_str += '}\\;'
    if coefs[j] == 1:
      has_prev_term = True

  poly_str = poly_str.replace('}\;\;\phantom{', '')

  print('| $a^{%d}$ | $%s$ | %s' % (i, poly_str, binary))

参考文献

• 付録A - ガロア拡大体 GF(2^m)