晴耕雨読

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ベクトル解析 公式一覧

高専4年の数学の教科書として使用した「新 応用数学」(大日本図書) のベクトル解析についての公式などを備忘録としてまとめたものです。

1.1 ベクトル関数

空間ベクトル

内積

外積

ベクトル関数

$\vec{a}(t), \vec{b}(t)$ は $t$ のベクトル関数、$u(t)$ は $t$ の関数とするとき

曲線

単位接線ベクトルは

曲線上の点 $P(a)$ から $P(b)$ までの曲線の長さ $s$ は $a < b$ のとき

曲面

曲線 $\vec{r} = \vec{r}(u, v)$ について、曲線上の点における単位法線ベクトルは

$uv$ 平面上の範囲 $D$ に対応する曲面の面積は


1.2 スカラー場とベクトル場

勾配

$\nabla\varphi,\; \mathrm{grad}\;\varphi$

ハミルトンの演算子 $\nabla$ (記号はナブラと読む)

$\varphi, \psi$ をスカラー場、$f$ を1変数の関数とするとき

任意の単位ベクトル $\vec{e}$ 方向への方向微分係数は $\nabla \varphi \cdot{} \vec{e}$

発散

$\nabla\cdot{}\vec{a},\; \mathrm{div}\;\vec{a}$

回転

$\nabla\times\vec{a},\; \mathrm{rot}\;\vec{a},\; \mathrm{curl}\;\vec{a}$

発散と回転の性質

$\vec{a}, \vec{b}$ をベクトル場、$\varphi$ をスカラー場とするとき

位置ベクトルに関する性質

$\vec{r} = (x,y,z),\; r = \lvert\vec{r}\rvert$ とするとき

ラプラシアン

$\nabla \cdot{} \nabla,\; \nabla^2,\; \Delta$


1.3 線積分・面積分

線積分

スカラー場 $\varphi$、ベクトル場 $\vec{a}$ について

$\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ の表す曲線 $C$ に沿う線積分は

$C_1, C_2$ をつなぐ曲線を $C_1 + C_2$、$C$ と逆向きの曲線を $-C$ とするとき

グリーンの定理

関数 $F(x,y),\; G(x,y)$ について

面積分

領域 $D$ で定義された $\vec{r}(u, v)$ の表す曲面 $S$ について

スカラー場 $\varphi$ の $S$ 上の面積分は

特に、$\varphi = 1$ のとき、上の積分は $S$ の面積である。

$S$ 上の点 $P$ における単位法線ベクトルを $\vec{n}$ とするとき

体積分

スカラー場 $\varphi$ の立体 $V$ についての体積分

発散定理

閉曲面 $S$ で囲まれた立体を $V$ とし、$\vec{n}$ が $S$ の外側を向くとき

ストークスの定理

空間内に $S, C, \vec{n}$ をとるとき、ベクトル場 $\vec{a}$ について