晴耕雨読

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微分積分I 公式一覧

高専2年の数学の教科書として使用した「新 微分積分 I」(大日本図書) の公式などを備忘録としてまとめたものです。

1 微分法

1.1 関数の極限と導関数

三角関数・指数関数の極限値

微分係数

導関数

導関数の性質

$a, b, c$ は定数とする

導関数の公式


1.2 いろいろな関数の導関数

合成関数の導関数

逆関数の導関数

導関数の公式

対数微分法

$y = f(x)$ の導関数を次の手順で求める

中間値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で $f(a) \ne f(b)$ のとき、$f(a)$ と $f(b)$ の間にある任意の値 $k$ に対して

を満たす点 $c$ が少なくとも1つ存在する。


2 微分の応用

2.1 関数の変動

接線と法線

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ において

  • 接線の方程式:$y - f(a) = f^\prime(a)(x-a)$
  • 法線の方程式:$y - f(a) = -\frac{1}{f^\prime(a)}(x-a) \;\;\;(f^\prime(a) \ne 0)$

関数の増減・極限

関数 $f(x)$ が区間 $I$ で微分可能であるとき、$I$ において

  • $f^\prime(x) > 0 \;\Longrightarrow\; f(x)$ は単調増加
  • $f^\prime(x) < 0 \;\Longrightarrow\; f(x)$ は単調減少
  • 関数 $f(x)$ が $x = a$ で極値をとるならば $f^\prime(a) = 0$

不定形の極限 (ロピタルの定理)

極限値が $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ の不定形となるとき

2.2 いろいろな応用

高次導関数

ライプニッツの公式 ($f, g$ は $n$ 回微分可能とする)

曲線の凹凸

関数 $y = f(x)$ が区間 $I$ で2回微分可能であるとき

  • $I$ で $f^{\prime\prime}(x) > 0 \;\Longrightarrow\; y = f(x)$ は $I$ で下に凸
  • $I$ で $f^{\prime\prime}(x) < 0 \;\Longrightarrow\; y = f(x)$ は $I$ で上に凸
  • $f^{\prime\prime}(a) = 0$ となる $a$ に対し、$x < a$ と $x > a$ とで $f^{\prime\prime}(x)$ の符号が変わるならば、点 $(a, f(a))$ は変曲点

媒介変数表示と微分法

のとき

速度と加速度


3 積分法

3.1 不定積分と定積分

不定積分

不定積分の公式

積分の性質

定積分の計算方法

偶関数・奇関数の定積分

$f(x)$ が偶関数のとき

$f(x)$ が奇関数のとき

3.2 積分の計算

置換積分法

不定積分

定積分 ($\varphi(a) = \alpha,\; \varphi(b) = \beta$ とおく)

部分積分法

不定積分

定積分

不定積分の公式

定積分の公式


4 積分の応用

4.1 面積・曲線の長さ・体積

平面図形の面積

2曲線 $y = f(x), y = g(x)$ と2直線 $x = a, x = b$ で囲まれた図形の面積は

曲線の長さ

曲線 $y = f(x) \;(a \le x \le b)$ の長さ $l$ は

立体の体積

$x$ 軸上の点 $x$ を通り、$x$ 軸に垂直な平面の切り口の面積を $S(x)$ とするとき、この立体の2平面 $x = a, x = b$ の間の部分の体積は

曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸および2直線 $x = a, x = b$ で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積は

4.2 いろいろな応用

媒介変数表示による図形

曲線 $x = f(t), y = g(t)$ と $x$ 軸および2直線 $x = a, x = b$ で囲まれた図形の面積は

曲線 $x = f(t), y = g(t)$ の長さ $l$ は

曲線 $x = f(t), y = g(t)$ を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V$ は

極座標による図形

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の関係

曲線 $r = f(\theta)$ と2つの半直線 $\theta = \alpha, \theta = \beta$ で囲まれた図形の面積は

曲線 $r = f(\theta)$ の長さ $l$ は