晴耕雨読

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微分積分I 公式一覧

高専2年の数学の教科書として使用した「新 微分積分 I」(大日本図書) の公式などを備忘録としてまとめたものです。

1 微分法

1.1 関数の極限と導関数

三角関数・指数関数の極限値

\[\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1\] \[\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1\] \[\lim_{t \to 0}\left(1 + t\right)^{\frac{1}{t}} = \lim_{x \to \pm \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\]

微分係数

\[f^\prime(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(h)}{h}\]

導関数

\[f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]

導関数の性質

$a, b, c$ は定数とする

\[\begin{aligned} (c)^\prime &= 0 \\[3pt] (cf)^\prime &= cf^\prime \\[3pt] (f \pm g)^\prime &= f^\prime \pm g^\prime \\[3pt] (fg)^\prime &= f^\prime g + fg^\prime \\[3pt] \left(\frac{f}{g}\right)^\prime &= \frac{f^\prime g - fg^\prime}{g^2} \\[3pt] \{f(ax + b)\}^\prime &= a f^\prime(ax + b) \end{aligned}\]

導関数の公式

\[\begin{aligned} (x^r)^\prime &= r x^{r-1}\\[3pt] (\sin x)^\prime &= \cos x \\[3pt] (\cos x)^\prime &= -\sin x \\[3pt] (\tan x)^\prime &= \frac{1}{\cos^2 x} \\[3pt] (e^x)^\prime &= e^x \\[3pt] (a^x)^\prime &= a^x \log a \;\;\;(a > 0, a \ne 1) \end{aligned}\]


1.2 いろいろな関数の導関数

合成関数の導関数

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = f^\prime(u)g^\prime(x) = f^\prime(g(x))g^\prime(x)\]

逆関数の導関数

\[\{f^{-1}(x)\}^\prime = \frac{1}{f^\prime(y)} \;\;\;\text{(ただし $f^\prime(y) \ne 0$)}\]

導関数の公式

\[\begin{aligned} (x^a)^\prime &= ax^{a-1} \\[3pt] (\log x)^\prime &= \frac{1}{x} \\[3pt] (\log \lvert x\rvert)^\prime &= \frac{1}{x} \\[3pt] (\log_a x)^\prime &= \frac{1}{x\log a} \;\;\;(a > 0, a \ne 1) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} (\sin^{-1} x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ (\cos^{-1} x)^\prime &= -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ (\tan^{-1} x)^\prime &= \frac{1}{1 + x^2} \end{aligned}\]

対数微分法

$y = f(x)$ の導関数を次の手順で求める

\[\begin{aligned} \log\lvert y\rvert &= \log\lvert f(x)\rvert \;\;\;\text{... 両辺の絶対値の自然対数をとる} \\ \frac{1}{y} y^\prime &= (\log\lvert f(x)\rvert)^\prime \;\;\;\text{... 両辺を $x$ について微分する} \\ y^\prime &= y (\log\lvert f(x)\rvert)^\prime \;\;\;\text{... 両辺に $y$ をかける} \end{aligned}\]

中間値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で $f(a) \ne f(b)$ のとき、$f(a)$ と $f(b)$ の間にある任意の値 $k$ に対して

\[f(c) = k \;\;\;(a < c < b)\]

を満たす点 $c$ が少なくとも1つ存在する。


2 微分の応用

2.1 関数の変動

接線と法線

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ において

  • 接線の方程式:$y - f(a) = f^\prime(a)(x-a)$
  • 法線の方程式:$y - f(a) = -\frac{1}{f^\prime(a)}(x-a) \;\;\;(f^\prime(a) \ne 0)$

関数の増減・極限

関数 $f(x)$ が区間 $I$ で微分可能であるとき、$I$ において

  • $f^\prime(x) > 0 \;\Longrightarrow\; f(x)$ は単調増加
  • $f^\prime(x) < 0 \;\Longrightarrow\; f(x)$ は単調減少
  • 関数 $f(x)$ が $x = a$ で極値をとるならば $f^\prime(a) = 0$

不定形の極限 (ロピタルの定理)

極限値が $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ の不定形となるとき

\[\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\]

2.2 いろいろな応用

高次導関数

\[y^{(n)} = f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{dx^n} = \frac{d^n}{dx^n}f(x)\]

ライプニッツの公式 ($f, g$ は $n$ 回微分可能とする)

\[\begin{aligned} (fg)^{(n)} &= \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k f^{(n-k)}g^{(k)} \\ &= f^{(n)} g + {}_nC_1 f^{(n-1)}g^\prime + \cdots + {}_nC_{n-1} f^\prime g^{(n-1)} + f g^{(n)} \end{aligned}\]

曲線の凹凸

関数 $y = f(x)$ が区間 $I$ で2回微分可能であるとき

  • $I$ で $f^{\prime\prime}(x) > 0 \;\Longrightarrow\; y = f(x)$ は $I$ で下に凸
  • $I$ で $f^{\prime\prime}(x) < 0 \;\Longrightarrow\; y = f(x)$ は $I$ で上に凸
  • $f^{\prime\prime}(a) = 0$ となる $a$ に対し、$x < a$ と $x > a$ とで $f^{\prime\prime}(x)$ の符号が変わるならば、点 $(a, f(a))$ は変曲点

媒介変数表示と微分法

\[\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}\]

のとき

\[\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{g^\prime(t)}{f^\prime(t)} \;\;\;(f^\prime(x) \ne 0)\]

速度と加速度

\[\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt} = x^\prime(t) \\ \alpha(t) &= \frac{dv}{dt} = x^{\prime\prime}(t) \end{aligned}\]


3 積分法

3.1 不定積分と定積分

不定積分

\[F(x) = \int f(x) \;dx + C \;\iff\; F^\prime(x) = f(x)\]

不定積分の公式

\[\begin{aligned} \int k \;dx &= kx + C \\[3pt] \int x^a \;dx &= \frac{1}{a + 1} x^{a+1} + C \;\;\;(a \ne -1) \\[3pt] \int \frac{1}{x} \;dx &= \log\lvert x\rvert + C \\[3pt] \int e^x \;dx &= e^x + C \\[3pt] \int \sin x \;dx &= -\cos x + C \\[3pt] \int \cos x \;dx &= \sin x + C \\[3pt] \int \frac{1}{\cos^2 x} \;dx &= \tan x + C \\[3pt] \int \frac{1}{\sin^2 x} \;dx &= -\cot x + C \\[3pt] \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \;dx &= \sin^{-1} \frac{x}{a} + C \\[3pt] \int \frac{1}{a^2 + x^2} \;dx &= \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C \\[3pt] \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}} \;dx &= \log\lvert x + \sqrt{x^2 + A}\rvert + C \;\;\;(A \ne 0) \end{aligned}\]

積分の性質

\[\begin{aligned} \int kf(x) \;dx &= k \int f(x) \;dx \\[3pt] \int \{f(x) \pm g(x)\} \;dx &= \int f(x)\;dx \pm \int g(x)\;dx \\[3pt] \int f(ax + b) \;dx &= \frac{1}{a} F(ax + b) + C \;\;\;(a \ne 0) \\[3pt] \int_a^b f(x)\;dx &= \int_a^c f(x)\;dx + \int_c^b f(x)\;dx \end{aligned}\]

定積分の計算方法

\[\int_a^b f(x) \;dx = \Big[ F(x) \Big]_a^b = F(b) - F(a)\]

偶関数・奇関数の定積分

$f(x)$ が偶関数のとき

\[\int_{-a}^a f(x) \;dx = 2 \int_0^a f(x) \;dx\]

$f(x)$ が奇関数のとき

\[\int_{-a}^a f(x) \;dx = 0\]

3.2 積分の計算

置換積分法

不定積分

\[\int f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x) \;dx = \int f(t) \;dt \;\;\;\;\;(\varphi(x) = t,\; \varphi(x) dx = dt)\]

定積分 ($\varphi(a) = \alpha,\; \varphi(b) = \beta$ とおく)

\[\int_a^b f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x) \;dx = \int_\alpha^\beta f(t) \;dt \;\;\;\;\;(\varphi(x) = t,\; \varphi(x) dx = dt)\]

部分積分法

不定積分

\[\int f(x)g(x) dx = f(x)G(x) - \int f^\prime(x) G(x) dx\]

定積分

\[\int_a^b f(x)g(x) dx = \Big[ f(x)G(x) \Big]_a^b - \int f^\prime(x) G(x) dx\]

不定積分の公式

\[\begin{aligned} \int \frac{f^\prime(x)}{f(x)} \;dx &= \log\lvert f(x)\rvert \\[3pt] \int e^{ax} \cos bx \;dx &= \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx) \\[3pt] \int e^{ax} \sin bx \;dx &= \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \sin bx - b \cos bx) \\[3pt] \int \frac{1}{x^2 - a^2} \;dx &= \frac{1}{2a} \log \left\lvert \frac{x-a}{x+a} \right\rvert \\[3pt] \int \sqrt{a^2 - x^2} \;dx &= \frac{1}{2} \left( x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a} \right) \\[3pt] \int \sqrt{x^2 + A} \;dx &= \frac{1}{2} \left( x\sqrt{x^2 + A} + A \log \left\lvert x + \sqrt{x^2 + A} \right\rvert \right) \\[3pt] \end{aligned}\]

定積分の公式

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \;dx = \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot{}\dfrac{n-3}{n-2}\cdots{}\dfrac{3}{4}\cdot{}\dfrac{1}{2}\cdot{}\dfrac{\pi}{2} &\;\;\;(n \text{が偶数のとき}) \\[10pt] \dfrac{n-1}{n}\cdot{}\dfrac{n-3}{n-2}\cdots{}\dfrac{4}{5}\cdot{}\dfrac{2}{3} &\;\;\;(n \text{が奇数のとき}) \end{cases}\]


4 積分の応用

4.1 面積・曲線の長さ・体積

平面図形の面積

2曲線 $y = f(x), y = g(x)$ と2直線 $x = a, x = b$ で囲まれた図形の面積は

\[S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\} \;dx\]

曲線の長さ

曲線 $y = f(x) \;(a \le x \le b)$ の長さ $l$ は

\[l = \int_a^b \sqrt{1 + \{f^\prime(x)\}^2} \;dx = \int_a^b \sqrt{1 + (y^\prime)^2} \;dx\]

立体の体積

$x$ 軸上の点 $x$ を通り、$x$ 軸に垂直な平面の切り口の面積を $S(x)$ とするとき、この立体の2平面 $x = a, x = b$ の間の部分の体積は

\[V = \int_a^b S(x) \;dx\]

曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸および2直線 $x = a, x = b$ で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積は

\[V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 \;dx = \pi \int_a^b y^2 \;dx\]

4.2 いろいろな応用

媒介変数表示による図形

曲線 $x = f(t), y = g(t)$ と $x$ 軸および2直線 $x = a, x = b$ で囲まれた図形の面積は

\[S = \int_\alpha^\beta \lvert g(t)f^\prime(t) \rvert \;dt = \int_\alpha^\beta \left\lvert y\frac{dx}{dt} \right\rvert \;dt \;\;\;\;\;(a = f(\alpha),\; b = f(\beta))\]

曲線 $x = f(t), y = g(t)$ の長さ $l$ は

\[l = \int_\alpha^\beta \sqrt{\{f^\prime(t)\}^2 + \{g^\prime(t)\}^2} \;dt = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \;dt\]

曲線 $x = f(t), y = g(t)$ を $x$ 軸の周りに回転してできる回転体の体積 $V$ は

\[V = \pi \int_\alpha^\beta y^2 \left\lvert \frac{dx}{dt} \right\rvert \;dt = \pi \int_\alpha^\beta \{g(t)\}^2 \lvert f^\prime(t) \rvert \;dt\]

極座標による図形

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の関係

\[\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}\] \[\begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2} \\[6pt] \cos\theta = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}},\;\; \sin\theta = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{cases}\]

曲線 $r = f(\theta)$ と2つの半直線 $\theta = \alpha, \theta = \beta$ で囲まれた図形の面積は

\[S = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta \{f(\theta)\}^2 \;d\theta = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2 \;d\theta\]

曲線 $r = f(\theta)$ の長さ $l$ は

\[l = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + (r^\prime)^2} \;d\theta = \int_\alpha^\beta \sqrt{\{f(\theta)\}^2 + \{f^\prime(\theta)\}^2} \;d\theta\]