晴耕雨読

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微分積分II 公式一覧

高専3年の数学の教科書として使用した「新 微分積分 II」(大日本図書) の公式などを備忘録としてまとめたものです。

1 関数の展開

多項式による近似

関数 $f(x)$ が定数 $a$ を含む区間で $n$ 回微分可能なとき

級数の収束

級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ が収束すれば、$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$

初項 $a$、公比 $r$ の等比級数は $\lvert r\rvert < 1$ のとき収束して、その和は

マクローリン展開とテイラー展開

関数 $f(x)$ のマクローリン展開は

$x = a$ における関数 $f(x)$ のテイラー展開は

オイラーの公式


2 偏微分

2.1 偏微分法

偏微分係数

偏導関数

全微分

$z = f(x, y)$ のとき

接平面の方程式

曲面 $z = f(x,y)$ 上の点 $(a, b, f(a,b))$ における接平面の方程式は

合成関数の微分法

$z = f(x,y), x = x(t), y = y(t)$ のとき

$z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v)$ のとき

2.2 偏微分の応用

高次偏導関数

極大・極小

点 $(a,b)$ で極値をとるための必要条件は $f_x(a,b)=0,\; f_y(a,b)=0$

このとき とおく。

  • $H > 0$ のとき

    $f_{xx}(a,b) > 0 \;\Longrightarrow\;$ 点 $(a,b)$ で極小

    $f_{xx}(a,b) < 0 \;\Longrightarrow\;$ 点 $(a,b)$ で極大

  • $H < 0$ のとき

    点 $(a,b)$ で極値をとらない

陰関数の微分法

$f(x,y) = 0$ のとき

$f(x,y,z) = 0$ のとき

接線と接平面

曲線 $f(x,y) = 0$ 上の点 $(a,b)$ における接線の方程式は

曲線 $f(x,y,z) = 0$ 上の点 $(a,b,c)$ における接平面の方程式は

条件付き極値

条件 $\varphi(x,y) = 0$ のもとで、$z = f(x,y)$ の極値をとる点において

包絡線

$\alpha$ をパラメータとする曲線群 $f(x,y,\alpha) = 0$ の包絡線上の点において


3. 重積分

3.1. 2重積分

2重積分の定義

2重積分の性質

$a, b$ は定数

$D$ を2つの領域 $D_1, D_2$ に分けるとき

2重積分の計算 (累次積分)

のとき

のとき

3.2 変数の変換と重積分

極座標による2重積分

$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$ とすると

2重積分の変数変換

$x = \varphi(u,v),\; y = \psi(u,v)$ のとき

広義積分の例

$\varepsilon \to +0$ のとき、領域 $D_\varepsilon$ が領域 $D$ に限りなく近くならば

$a \to \infty$ のとき、領域 $D_a$ が領域 $D$ に限りなく近くならば

範囲が無限大までの例

曲面積

曲面 $z = f(x,y)$ の領域 $D$ に対応する部分の面積は

平均と重心

領域 $D$ における $f(x,y)$ の平均は

図形 $D$ の重心 $\mathrm{G}(\bar{x}, \bar{y})$ の各座標は


4. 微分方程式

4.1. 1階微分方程式

微分方程式の解

  • 解 : 微分方程式を満たす関数
  • 解曲線 : 微分方程式の解が表す曲線
  • 一般解 : 微分方程式の階数と同じ個数の任意定数を含む解
  • 特殊解 : 一般解における任意定数に特別の値を代入して得られる解
  • 特異解 : 一般解における任意定数にどんな値を代入しても得られない解

変数分離形

$\dfrac{1}{g(x)} \frac{dx}{dt} = f(t)$ の両辺を $t$ について積分すると

同次形

$u = \dfrac{x}{t}$ とおくと $x = tu,\; \dfrac{dx}{dt} = u + t\dfrac{du}{dt}$ だから、以下の変数分離形となる

1階線形微分方程式

  1. $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = 0$ の一般解 $x = Cx_1$ ($C$ は任意定数) を求める
  2. $x = ux_1$ ($u$ は $t$ の関数) が $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ を満たすように関数 $u$ を定める (定数変化法)

4.2. 2階微分方程式

線形独立

2つの関数 $u(t), v(t)$ と定数 $c_1, c_2$ について

が成り立つとき、$u(t)$ と $v(t)$ は線形独立である。

$W(u,v)$ が恒等的には $0$ でない $\;\Longrightarrow\; u(t), v(t)$ は線形独立

2階斉次線形微分方程式

$u_1, u_2$ が線型独立な解のとき、一般解は $C_1 u_1 + C_2 u_2$ である。

2階非斉次線形微分方程式

$x_1$ が1つの解、$u$ が $L(x) = 0$ の一般解のとき、一般解は $x_1 + u$ である。

定数係数斉次線形微分方程式

$a, b$ は定数

特性方程式 $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$ の解に対応して、一般解は次のようになる。

  • 異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ をもつとき

  • 2重解 $\alpha$ をもつとき

  • 異なる2つの虚数解 $p\pm qi$ をもつとき

定数係数非斉次線形微分方程式

1つの解を見つけるために、次の表のように解を予想する。

$R(t)$ 斉次の場合の一般解 予想する解の形
$n$次多項式 $n$次多項式 ($b \ne 0$ のとき)
$n$次多項式 $n+1$次多項式 ($a \ne 0, b = 0$ のとき)
指数関数 $e^{\alpha t}$ $e^{\alpha t}$ を含まない $x = A\,e^{\alpha t}$
指数関数 $e^{\alpha t}$ $e^{\alpha t}$ を含む $x = A\,t\,e^{\alpha t}$
三角関数 $\cos \alpha t$ または $\sin \alpha t$ $R(t)$ を含まない $x = A\cos\alpha t + B\sin\alpha t$
三角関数 $\cos \alpha t$ または $\sin \alpha t$ $R(t)$ を含まない $x = t(A\cos\alpha t + B\sin\alpha t)$