高専3年の数学の教科書として使用した「新 微分積分 II」(大日本図書) の公式などを備忘録としてまとめたものです。
1 関数の展開
多項式による近似
関数 $f(x)$ が定数 $a$ を含む区間で $n$ 回微分可能なとき（$\mathcal{O}$ はランダウの記号）
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots{} + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \mathcal{O}((x-a)^n)\]級数の収束
級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ が収束すれば、$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
初項 $a$、公比 $r$ の等比級数は $\lvert r\rvert < 1$ のとき収束して、その和は
\[a + ar + ar^2 + \cdots{} + ar^{n-1} + \cdots = \frac{a}{1 - r}\]マクローリン展開とテイラー展開
関数 $f(x)$ のマクローリン展開は
\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots{} + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots{}\]$x = a$ における関数 $f(x)$ のテイラー展開は
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots{} + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots{}\]オイラーの公式
\[e^{ix} = \cos x + i \sin x\]2 偏微分
2.1 偏微分法
偏微分係数
\[\begin{aligned} f_x(a,b) = \lim_{x \to a}\frac{f(x,b) - f(a,b)}{x-a} = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} \\[3pt] f_y(a,b) = \lim_{x \to b}\frac{f(a,y) - f(a,b)}{y-a} = \lim_{h \to 0}\frac{f(a,b+k) - f(a,b)}{k} \end{aligned}\]偏導関数
\[\begin{aligned} f_x(a,b) = \lim_{X \to x}\frac{f(X,y) - f(x,y)}{X-x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x} \\[3pt] f_y(a,b) = \lim_{Y \to y}\frac{f(x,Y) - f(x,y)}{Y-y} = \lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x, y + \Delta y) - f(x,y)}{\Delta y} \end{aligned}\]全微分
$z = f(x, y)$ のとき
\[\begin{aligned} dz &= f_x dx + f_y dy \\[3pt] dz &= \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \end{aligned}\]接平面の方程式
曲面 $z = f(x,y)$ 上の点 $(a, b, f(a,b))$ における接平面の方程式は
\[z - f(a,b) = f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b)\]合成関数の微分法
$z = f(x,y), x = x(t), y = y(t)$ のとき
\[\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}\]$z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v)$ のとき
\[\frac{dz}{du} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}, \;\; \frac{dz}{dv} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\]2.2 偏微分の応用
高次偏導関数
\[\frac{\partial f_x}{\partial x} = f_{xx},\;\; \frac{\partial f_x}{\partial y} = f_{xy},\;\; \frac{\partial f_y}{\partial x} = f_{yx},\;\; \frac{\partial f_y}{\partial y} = f_{yy}\] \[f_{xy} \;\text{と}\; f_{yx} \;\text{が存在して共に連続}\; \Longrightarrow \; f_{xy} = f_{yx}\]極大・極小
点 $(a,b)$ で極値をとるための必要条件は $f_x(a,b)=0,\; f_y(a,b)=0$
このとき \(H = f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) - \{f_{xy}(a,b)\}^2\) とおく。
-
$H > 0$ のとき
$f_{xx}(a,b) > 0 \;\Longrightarrow\;$ 点 $(a,b)$ で極小
$f_{xx}(a,b) < 0 \;\Longrightarrow\;$ 点 $(a,b)$ で極大
-
$H < 0$ のとき
点 $(a,b)$ で極値をとらない
陰関数の微分法
$f(x,y) = 0$ のとき
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{f_x}{f_y} \;\;\;(f_y \ne 0)\]$f(x,y,z) = 0$ のとき
\[\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{f_x}{f_z},\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{f_y}{f_z} \;\;\;(f_z \ne 0)\]接線と接平面
曲線 $f(x,y) = 0$ 上の点 $(a,b)$ における接線の方程式は
\[f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) = 0\]曲線 $f(x,y,z) = 0$ 上の点 $(a,b,c)$ における接平面の方程式は
\[f_x(a,b,c)(x-a) + f_y(a,b,c)(y-b) + f_z(a,b,c)(z-c) = 0\]条件付き極値
条件 $\varphi(x,y) = 0$ のもとで、$z = f(x,y)$ の極値をとる点において
\[\frac{f_x}{\varphi_x} = \frac{f_y}{\varphi_y}\] \[f_x = \lambda \varphi_x,\;\; f_y = \lambda \varphi_y \;\;\;(\lambda \text{は定数})\]包絡線
$\alpha$ をパラメータとする曲線群 $f(x,y,\alpha) = 0$ の包絡線上の点において
\[f(x,y,\alpha) = 0, \;\; f_\alpha(x,y,\alpha) = 0\]3. 重積分
3.1. 2重積分
2重積分の定義
\[\iint_D f(x,y) \;dxdy = \lim_{\small\begin{matrix} \Delta x_i \to 0 \\ \Delta y_j \to 0 \end{matrix}} \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m f(\xi_{ij}, \eta_{ij}) \Delta x_i \Delta y_j\]2重積分の性質
\[\left\lvert \iint_D f(x,y) \;dxdy \right\rvert \le \iint_D \lvert f(x,y) \rvert \;dxdy\]$a, b$ は定数
\[\iint_D (af + bg) \;dxdy = a \iint_D f \;dxdy + b \iint_D g \;dxdy\]$D$ を2つの領域 $D_1, D_2$ に分けるとき
\[\iint_D f \;dxdy = \iint_{D_1} f \;dxdy + \iint_{D_2} f \;dxdy\]2重積分の計算 (累次積分)
\(D = \{ (x,y) \;\vert\; a \le x \le b, \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x) \}\) のとき
\[\iint_D f(x,y) \;dxdy = \int_a^b \left\{ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) \;dy \right\} \;dx\]\(D = \{ (x,y) \;\vert\; c \le y \le d, \psi_1(y) \le y \le \psi_2(y) \}\) のとき
\[\iint_D f(x,y) \;dxdy = \int_c^d \left\{ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) \;dx \right\} \;dy\]3.2 変数の変換と重積分
極座標による2重積分
$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$ とすると
\[\iint_D f(x,y) \;dxdy = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \;drd\theta\]2重積分の変数変換
$x = \varphi(u,v),\; y = \psi(u,v)$ のとき
\[\iint_D f(x,y) \;dxdy = \iint_D f(\varphi(u,v), \psi(u,v)) \left\lvert \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right\lvert \;dudv\] \[\text{ここで}\; \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = J(u,v) = \begin{vmatrix} \varphi_u & \varphi_v \\ \psi_u & \psi_v \\ \end{vmatrix} \;\text{はヤコビアン}\]広義積分の例
$\varepsilon \to +0$ のとき、領域 $D_\varepsilon$ が領域 $D$ に限りなく近くならば
\[\iint_D f(x,y) \;dxdy = \lim_{\varepsilon \to +0} \iint_{D_\varepsilon} f(x,y) \;dxdy\]$a \to \infty$ のとき、領域 $D_a$ が領域 $D$ に限りなく近くならば
\[\iint_D f(x,y) \;dxdy = \lim_{a \to \infty} \iint_{D_a} f(x,y) \;dxdy\]範囲が無限大までの例
\[\int_0^\infty e^{-x^2} \;dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]曲面積
曲面 $z = f(x,y)$ の領域 $D$ に対応する部分の面積は
\[\iint_D \sqrt{ \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 + 1} \;dxdy\]平均と重心
領域 $D$ における $f(x,y)$ の平均は
\[\dfrac{\iint_D f(x,y)\;dxdy}{\iint_D \;dxdy}\]図形 $D$ の重心 $\mathrm{G}(\bar{x}, \bar{y})$ の各座標は
\[\bar{x} = \dfrac{\iint_D x \;dxdy}{\iint_D \;dxdy},\;\;\; \bar{y} = \dfrac{\iint_D y \;dxdy}{\iint_D \;dxdy}\]4. 微分方程式
4.1. 1階微分方程式
微分方程式の解
- 解 : 微分方程式を満たす関数
- 解曲線 : 微分方程式の解が表す曲線
- 一般解 : 微分方程式の階数と同じ個数の任意定数を含む解
- 特殊解 : 一般解における任意定数に特別の値を代入して得られる解
- 特異解 : 一般解における任意定数にどんな値を代入しても得られない解
変数分離形
\[\frac{dx}{dt} = f(t)g(t)\]$\dfrac{1}{g(x)} \frac{dx}{dt} = f(t)$ の両辺を $t$ について積分すると
\[\int \frac{1}{g(x)} \;dx = \int f(t) dt\]同次形
\[\frac{dx}{dt} = f\left(\frac{x}{t}\right)\]$u = \dfrac{x}{t}$ とおくと $x = tu,\; \dfrac{dx}{dt} = u + t\dfrac{du}{dt}$ だから、以下の変数分離形となる
\[t\frac{du}{dt} = f(u) - u\]1階線形微分方程式
\[\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)\]- $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = 0$ の一般解 $x = Cx_1$ ($C$ は任意定数) を求める
- $x = ux_1$ ($u$ は $t$ の関数) が $\dfrac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ を満たすように関数 $u$ を定める (定数変化法)
4.2. 2階微分方程式
線形独立
2つの関数 $u(t), v(t)$ と定数 $c_1, c_2$ について
\[c_1 u(t) + c_2 v(t) \; \text{が恒等的に 0 である} \;\iff\; c_1 = c_2 = 0\]が成り立つとき、$u(t)$ と $v(t)$ は線形独立である。
$W(u,v)$ が恒等的には $0$ でない $\;\Longrightarrow\; u(t), v(t)$ は線形独立
\[W(u,v) = \begin{vmatrix} u & v \\[2pt] \dfrac{du}{dt} & \dfrac{dv}{dt} \end{vmatrix} \;\;\;\text{(ロンスキアン)}\]2階斉次線形微分方程式
\[\frac{d^2 x}{dt^2} + P(t)\frac{dx}{dt} + Q(t)x = 0\]$u_1, u_2$ が線型独立な解のとき、一般解は $C_1 u_1 + C_2 u_2$ である。
2階非斉次線形微分方程式
\[L(x) = \frac{d^2 x}{dt^2} + P(t)\frac{dx}{dt} + Q(t)x = R(t)\]$x_1$ が1つの解、$u$ が $L(x) = 0$ の一般解のとき、一般解は $x_1 + u$ である。
定数係数斉次線形微分方程式
$a, b$ は定数
\[\frac{d^2 x}{dt^2} + a\frac{dx}{dt} + bx = 0\]特性方程式 $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$ の解に対応して、一般解は次のようになる。
-
異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ をもつとき
\[x = C_1 e^{\alpha t} + C_2 e^{\beta t}\] -
2重解 $\alpha$ をもつとき
\[x = (C_1 + C_2t) e^{\alpha t}\] -
異なる2つの虚数解 $p\pm qi$ をもつとき
\[x = e^{pt} (C_1 \cos qt + C_2 \sin qt)\]
定数係数非斉次線形微分方程式
\[\frac{d^2 x}{dt^2} + a\frac{dx}{dt} + bx = R(t)\]1つの解を見つけるために、次の表のように解を予想する。
| $R(t)$ | 斉次の場合の一般解 | 予想する解の形 |
|---|---|---|
| $n$次多項式 | – | $n$次多項式 ($b \ne 0$ のとき) |
| $n$次多項式 | – | $n+1$次多項式 ($a \ne 0, b = 0$ のとき) |
| 指数関数 $e^{\alpha t}$ | $e^{\alpha t}$ を含まない | $x = A\,e^{\alpha t}$ |
| 指数関数 $e^{\alpha t}$ | $e^{\alpha t}$ を含む | $x = A\,t\,e^{\alpha t}$ |
| 三角関数 $\cos \alpha t$ または $\sin \alpha t$ | $R(t)$ を含まない | $x = A\cos\alpha t + B\sin\alpha t$ |
| 三角関数 $\cos \alpha t$ または $\sin \alpha t$ | $R(t)$ を含まない | $x = t(A\cos\alpha t + B\sin\alpha t)$ |