高専4年の数学の教科書として使用した「新 確率統計」(大日本図書) の公式などを備忘録としてまとめたものです。

1. 確率

条件付き確率 (ベイズの定理)

$A$が起こったという条件のもとで$B$の起こる条件つき確率

反復試行の確率

試行 $T$ を1回行うとき、$A$ の起こる確率を $p$ とする。この試行を独立に $n$ 回行うとき、$A$ が $k$ 回起こる確率は次式で求まる。

2. データの整理

1次元のデータ

平均

分散

標準偏差

2次元のデータ

共分散

相関係数

回帰直線

($y = ax + b$)

3. 確率分布

確率変数と確率分布

確率変数と確率分布

平均と分散の性質

主な離散型確率分布

確率密度関数と分布関数

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$

$X$ は $N(\mu,\sigma^2)$ に従う $\Longrightarrow$ $X$ の標準化 $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う

二項分布の正規分布による近似

$X$ は $B(n,p)$、$Z$ は $N(0,1)$ に従うとき、$n$が十分に大きいならば

統計量の標本分布

統計量

無作為標本 $X_1, X_2, …, X_n$ の関数

標本平均

標本分布

不偏分散

標本平均の平均と分散

正規母集団 $N(\mu,\sigma^2)$ の標本分布

大きさ$n$の無作為標本の標本平均 $\overline{X}$ は $N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ に従う

中心極限定理

母平均 $\mu$、母分散 $\sigma^2$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出

$\Longrightarrow$ $n$ が大きいとき、$\overline{X}$ は近似的に正規表現 $N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ に従う

$\chi^2$ 分布

上限 $\alpha$ 点 $\chi_n^2(\alpha)$ $\iff$ $P(X \ge \chi_n^2(\alpha)) = \alpha$

正規母集団 $N(\mu,\sigma^2)$ から大きさ $n$ の無作為標本を抽出

$\Longrightarrow$ $\dfrac{(n-1)U^2}{\sigma^2}$ は自由度 $n-1$ の $\chi^2$ 分布に従う

$t$ 分布

上限 $\alpha$ 点 $t_n(\alpha)$ $\iff$ $P(X \ge t_n(\alpha)) = \alpha$

正規母集団 $N(\mu,\sigma^2)$ から大きさ $n$ の無作為標本を抽出

$\Longrightarrow$ $\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{U^2/n}}$ は自由度 $n-1$ の $t$ 分布に従う

$F$ 分布

上限 $\alpha$ 点 $F_{m,n}(\alpha)$ $\iff$ $P(X \ge F_{m,n}(\alpha)) = \alpha$

$N(\mu_1,\sigma^2),\, N(\mu_2,\sigma^2)$ から大きさ $n$ の無作為標本を抽出

$\Longrightarrow$ $\dfrac{U_1^2}{U_2^2}$ は自由度 $(n_1-1, n_2-1)$ の $F$ 分布に従う

4. 推定と検定

母平均の区間推定

正規母集団で母分散 $\sigma^2$ が既知のとき（ただし，$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側 $\alpha / 2$ 点）（正規母集団でなくても $n$ が大きければ、$\sigma^2$ に不偏分散 $u^2$ を代入しても良い）

正規母集団で母分散 $\sigma^2$ が未知のとき

母分散の区間推定

正規母集団のとき

母比率の区間推定

二項母集団で $n$ は大きいとき

統計的検定

仮説と検定

1. 有意水準（危険率）$\alpha$ を定める。
2. 帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ を設定する。
   • $H_0$ : $\theta = \theta_0$
   • $H_1$ : $\theta \ne \theta_0$ (両側検定)　$\theta > \theta_0$ (右側検定)　$\theta < \theta_0$ (左側検定)
3. $H_0$ を仮定して、検定統計量 $X$ の実現値 $x$ を求める。
4. $p$ 値または棄却域の方法により、$H_0$ を棄却するかどうかを判断する。
   • $p$ 値 … $X$ が $x$ より外れる確率（$\alpha$ より小さければ棄却）
   • 棄却域 … 棄却域に入る確率が $\alpha$ となる $X$ の範囲

色々な検定

参考文献

• 新確率統計 - 大日本図書