[要約] RFC 5639は、Elliptic Curve Cryptography (ECC) におけるBrainpool標準曲線と曲線生成に関する文書です。このRFCの目的は、セキュリティが強化された様々なビット長のECC標準曲線を提供し、これらの曲線の生成方法について説明することにあります。これらの曲線は、デジタル署名、鍵交換、暗号化などのセキュリティ関連のアプリケーションで広く利用されます。関連するRFCには、ECCを使用する際のプロトコルやアルゴリズムを定義するRFC 4492やRFC 5246などがあります。
Independent Submission M. Lochter
Request for Comments: 5639 BSI
Category: Informational J. Merkle
ISSN: 2070-1721 secunet Security Networks
March 2010
Elliptic Curve Cryptography (ECC) Brainpool Standard Curves and Curve Generation
楕円曲線暗号化（ECC）ブレインプール標準曲線と曲線生成
Abstract
概要
This memo proposes several elliptic curve domain parameters over finite prime fields for use in cryptographic applications. The domain parameters are consistent with the relevant international standards, and can be used in X.509 certificates and certificate revocation lists (CRLs), for Internet Key Exchange (IKE), Transport Layer Security (TLS), XML signatures, and all applications or protocols based on the cryptographic message syntax (CMS).
このメモは、暗号化アプリケーションで使用するための有限のプライムフィールド上のいくつかの楕円曲線ドメインパラメーターを提案しています。ドメインパラメーターは、関連する国際標準と一致しており、X.509証明書および証明書取消リスト（CRLS）、インターネットキーエクスチェンジ（IKE）、トランスポートレイヤーセキュリティ（TLS）、XML署名、およびすべてのアプリケーションまたはすべてのアプリケーションまたは暗号化メッセージ構文（CMS）に基づくプロトコル。
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Table of Contents
目次
1. Introduction ....................................................3
1.1. Scope and Relation to Other Specifications .................4
1.2. Requirements Language ......................................4
2. Requirements on the Elliptic Curve Domain Parameters ............4
2.1. Security Requirements ......................................5
2.2. Technical Requirements .....................................6
3. Domain Parameter Specification ..................................8
3.1. Domain Parameters for 160-Bit Curves .......................8
3.2. Domain Parameters for 192-Bit Curves .......................9
3.3. Domain Parameters for 224-Bit Curves ......................10
3.4. Domain Parameters for 256-Bit Curves ......................11
3.5. Domain Parameters for 320-Bit Curves ......................12
3.6. Domain Parameters for 384-Bit Curves ......................13
3.7. Domain Parameters for 512-Bit Curves ......................14
4. Object Identifiers and ASN.1 Syntax ............................15
4.1. Object Identifiers ........................................15
4.2. ASN.1 Syntax for Usage with X.509 Certificates ............16
5. Security Considerations ........................................17
6. Intellectual Property Rights ...................................18
7. References .....................................................18
7.1. Normative References ......................................18
7.2. Informative References ....................................19
Appendix A. Pseudo-Random Generation of Parameters ................22
A.1. Generation of Prime Numbers ................................22
A.2. Generation of Pseudo-Random Curves .........................24
Although several standards for elliptic curves and domain parameters exist (e.g., [ANSI1], [FIPS], or [SEC2]), some major issues have still not been addressed:
楕円曲線とドメインパラメーターのいくつかの標準が存在しますが（例：[ANSI1]、[FIPS]、または[SEC2]）、いくつかの大きな問題はまだ対処されていません。
o Not all parameters have been generated in a verifiably pseudo-random way. In particular, the seeds from which the curve parameters were derived have been chosen ad hoc, leaving out an essential part of the security proof.
o すべてのパラメーターが検証可能な擬似ランダムの方法で生成されているわけではありません。特に、曲線パラメーターが導出された種子はアドホックで選択されており、セキュリティ証明の重要な部分を除外しています。
o The primes selected for the base fields have a very special form facilitating efficient implementation. This does not only contradict the approach of pseudo-random parameters, but also increases the risk of implementations violating one of the numerous patents for fast modular arithmetic with special primes.
o ベースフィールドに選択されたプライムには、効率的な実装を促進する非常に特別なフォームがあります。これは、擬似ランダムパラメーターのアプローチと矛盾するだけでなく、特別な素数を備えた高速モジュラー算術のために多数の特許の1つに違反する実装のリスクを高めます。
o No proofs are provided that the proposed parameters do not belong to those classes of parameters that are susceptible to cryptanalytic attacks with sub-exponential complexity.
o 提案されたパラメーターは、サブエクスポン的な複雑さを伴う暗号化攻撃の影響を受けやすいパラメーターのクラスに属していないという証拠は提供されていません。
o Recent research results seem to indicate a potential for new attacks on elliptic curve cryptosystems. At least for applications with the highest security demands or under circumstances that complicate a change of parameters in response to new attacks, the inclusion of a corresponding security requirement for domain parameters (the class group condition, see Section 2) is justified.
o 最近の研究結果は、楕円曲線暗号システムに対する新しい攻撃の可能性を示しているようです。少なくとも最も高いセキュリティ要求を伴うアプリケーションまたは新しい攻撃に応じてパラメーターの変更を複雑にする状況下では、ドメインパラメーターの対応するセキュリティ要件（クラスグループ条件、セクション2を参照）を含めることが正当化されます。
o Some of the proposed subgroups have a non-trivial cofactor, which demands additional checks by cryptographic applications to prevent small subgroup attacks (see [ANSI1] or [SEC1]).
o 提案されているサブグループの一部には、非自明の補因子があり、小さなサブグループ攻撃を防ぐために暗号化アプリケーションによる追加のチェックが必要です（[ANSI1]または[SEC1]を参照）。
o The domain parameters specified do not cover all bit lengths that correspond to the commonly used key lengths for symmetric cryptographic algorithms. In particular, there is no 512-bit curve defined, but only one with a 521-bit length, which may be disadvantageous for some implementations.
o 指定されたドメインパラメーターは、対称暗号化アルゴリズムに一般的に使用されるキー長に対応するすべてのビット長をカバーするものではありません。特に、512ビット曲線は定義されていませんが、521ビットの長さの1つだけがあり、一部の実装では不利な場合があります。
Furthermore, many of the parameters specified by the existing standards are identical (see [SEC2] for a comparison). Thus, there is still a need for additional elliptic curve domain parameters that overcome the above limitations.
さらに、既存の標準で指定されたパラメーターの多くは同一です（比較については[SEC2]を参照）。したがって、上記の制限を克服する追加の楕円曲線ドメインパラメーターがまだ必要です。
This RFC specifies elliptic curve domain parameters over prime fields GF(p) with p having a length of 160, 192, 224, 256, 320, 384, and 512 bits. These parameters were generated in a pseudo-random, yet completely systematic and reproducible, way and have been verified to resist current cryptanalytic approaches. The parameters are compliant with ANSI X9.62 [ANSI1] and ANSI X9.63 [ANSI2], ISO/IEC 14888 [ISO1] and ISO/IEC 15946 [ISO2], ETSI TS 102 176-1 [ETSI], as well as with FIPS-186-2 [FIPS], and the Efficient Cryptography Group (SECG) specifications ([SEC1] and [SEC2]).
このRFCは、Prime Fields GF（P）の楕円曲線ドメインパラメーターを指定し、長さは160、192、224、256、320、384、384、512ビットです。これらのパラメーターは、擬似ランダムで生成されましたが、完全に体系的で再現可能な方法で生成され、現在の暗号化アプローチに抵抗するように検証されています。パラメーターは、ANSI X9.62 [ANSI1]およびANSI X9.63 [ANSI2]、ISO/IEC 14888 [ISO1]およびISO/IEC 15946 [ISO2]、ETSI TS 102 176-1 [ETSI]に準拠しています。FIPS-186-2 [FIPS]、および効率的な暗号化グループ（SECG）仕様（[SEC1]および[SEC2]）を使用しています。
Furthermore, this document identifies the security and implementation requirements for the parameters, and describes the methods used for the pseudo-random generation of the parameters.
さらに、このドキュメントは、パラメーターのセキュリティと実装の要件を特定し、パラメーターの擬似ランダム生成に使用される方法を説明します。
Finally, this RFC defines ASN.1 object identifiers for all elliptic curve domain parameter sets specified herein, e.g., for use in X.509 certificates.
最後に、このRFCは、X.509証明書で使用するために、本明細書で指定されたすべての楕円曲線ドメインパラメーターセットのASN.1オブジェクト識別子を定義します。
This document does neither address the cryptographic algorithms to be used with the specified parameters nor their application in other standards. However, it is consistent with the following RFCs that specify the usage of elliptic curve cryptography in protocols and applications:
このドキュメントは、指定されたパラメーターで使用される暗号化アルゴリズムも、他の標準でも使用する暗号化アルゴリズムにも対応していません。ただし、プロトコルとアプリケーションでの楕円曲線暗号化の使用を指定する次のRFCと一致しています。
o [RFC5753] for the cryptographic message syntax (CMS)
o [RFC5753]暗号化メッセージの構文（CMS）用
o [RFC3279] and [RFC5480] for X.509 certificates and CRLs
o X.509証明書とCRLのための[RFC3279]および[RFC5480]
o [RFC4050] for XML signatures
o XML署名用[RFC4050]
o [RFC4492] for TLS
o [RFC4492] TLSの場合
o [RFC4754] for IKE
o [RFC4754] IKE用
The key words "MUST", "MUST NOT", "REQUIRED", "SHALL", "SHALL NOT", "SHOULD", "SHOULD NOT", "RECOMMENDED", "MAY", and "OPTIONAL" in this document are to be interpreted as described in RFC 2119 [RFC2119].
この文書のキーワード "MUST", "MUST NOT", "REQUIRED", "SHALL", "SHALL NOT", "SHOULD", "SHOULD NOT", "RECOMMENDED", "MAY", および "OPTIONAL" はRFC 2119 [RFC2119]で説明されているように解釈されます。
Throughout this memo, let p > 3 be a prime and GF(p) a finite field (sometimes also referred to as Galois Field or GF(p)) with p elements. For given A and B with non-zero 4*A^3 + 27*B^2 mod p, the set of solutions (x,y) for the equation E: y^2 = x^3 + A*x + B mod p over GF(p) together with a neutral element O and well-defined laws for addition and inversion define a group E(GF(p)) -- the group of GF(p) rational points on E. Typically, for cryptographic applications, an element G of prime order q is chosen in E(GF(p)).
このメモ全体で、p> 3をプライムとし、GF（P）を有限フィールド（P要素を持つGaloisフィールドまたはGF（P）とも呼ぶこともあります）とします。非ゼロ4*a^3 27*b^2 mod pを使用したAおよびBの場合、式E：y^2 = x^3 a*x b mod pのソリューション（x、y）のセット（x、y）GF（P）は、中性要素Oおよび追加および反転のための明確に定義された法則とともに、グループE（GF（P））を定義します - GF（P）の合理的なポイントのグループは、通常、暗号化アプリケーションでは、暗号化アプリケーションの場合、プライムオーダーQの要素Gは、E（GF（P））で選択されます。
A comprehensive introduction to elliptic curve cryptography can be found in [CFDA] and [BSS].
楕円曲線暗号化の包括的な紹介は、[CFDA]および[BSS]にあります。
Note 1: We choose {0,...,p-1} as a set of representatives for the elements of GF(p). This choice induces a natural ordering on GF(p).
注1：GF（P）の要素の代表者のセットとして{0、...、P-1}を選択します。この選択は、GF（P）の自然な順序を誘導します。
The following security requirements are either motivated by known cryptographic analysis or aim to enhance trust in the recommended curves. As this specification aims at a particularly high level of security, a restrictive position is taken here. Nevertheless, it may be sensible to slightly deviate from these requirements for certain applications (e.g., in order to achieve higher computational performance). More details on requirements for cryptographically strong elliptic curves can be found in [CFDA] and [BSS].
以下のセキュリティ要件は、既知の暗号化分析によって動機付けられるか、推奨される曲線への信頼を強化することを目指しています。この仕様は特に高いレベルのセキュリティを目指しているため、ここで制限的な位置が取られます。それにもかかわらず、特定のアプリケーションのこれらの要件からわずかに逸脱することは賢明かもしれません（たとえば、より高い計算パフォーマンスを達成するため）。暗号的に強力な楕円曲線の要件の詳細については、[CFDA]および[BSS]に記載されています。
1. Immunity to attacks using the Weil or Tate Pairing. These attacks allow the embedding of the cyclic subgroup generated by G into the group of units of a degree-l extension GF(p^l) of GF(p), where sub-exponential attacks on the discrete logarithm problem (DLP) exist. Here we have l = min{t | q divides p^t - 1}, i.e., l is the order of p mod q. By Fermat's Little Theorem, l divides q-1. We require (q-1)/l < 100, which means that l is close to the maximum possible value. This requirement is considerably stronger than those of [SEC2] and [ANSI2] and also excludes supersingular curves, as those are the curves of order p+1.
1. WeilまたはTateのペアリングを使用した攻撃に対する免疫。これらの攻撃により、Gによって生成された環状サブグループがGF（P）の次数拡張GF（P^L）の単位のグループに生成され、離散対数問題（DLP）のサブエクスポンジェンス攻撃が存在します。ここにl = min {t |q分裂p^t -1}、つまり、lはp mod qの順序です。Fermatの小さな定理により、LはQ-1を分割します。（Q-1）/L <100が必要です。つまり、Lは可能な最大値に近いことを意味します。この要件は、[Sec2]および[ANSI2]の要件よりもかなり強く、注文P 1の曲線であるため、控えめな曲線も除外されます。
2. The trace is not equal to one. Trace one curves (or anomalous curves) are curves with #E(GF(p)) = p. Satoh and Araki [SA], Semaev [Sem], and Smart [Sma] independently proposed efficient solutions to the elliptic curve discrete logarithm problem (ECDLP) on trace one curves. Note that these curves are also excluded by requirement 5 of Section 2.2.
2. トレースは1つに等しくありません。トレース1つの曲線（または異常な曲線）は、＃e（gf（p））= pの曲線です。SatohとAraki [SA]、Semaev [SEM]、およびSmart [SMA]は、トレース1曲線上の楕円曲線離散対数問題（ECDLP）に対して効率的なソリューションを独立して提案しました。これらの曲線は、セクション2.2の要件5でも除外されていることに注意してください。
3. Large class number. The class number of the maximal order of the quotient field of the endomorphism ring End(E) of E is larger than 10^7. Generally, E cannot be "lifted" to a curve E' over an algebraic number field L with End(E) = End(E') unless the degree of L over the rationals is larger than the class number of End(E). Although there are no efficient attacks exploiting a small class number, recent work ([JMV] and [HR]) also may be seen as argument for the class number condition.
3. 大きなクラス番号。Eの子宮内膜リング端（e）の商の最大順序のクラス番号は、10^7を超えています。一般に、eは、end（e）= end（e '）で代数数フィールドlを介して、e'に「e」に「e '）に「e'）に「e」を「e '）に「e'に「持ち上げる」ことはできません。少数のクラス番号を悪用する効率的な攻撃はありませんが、最近の研究（[JMV]および[HR]）もクラス番号条件の議論と見なされる場合があります。
4. Prime group order. The group order #E(GF(p)) shall be a prime number in order to counter small-subgroup attacks (see [HMV]). Therefore, all groups proposed in this RFC have cofactor 1. Note that curves with prime order have no point of order 2 and therefore no point with y-coordinate 0.
4. プライムグループオーダー。グループ注文＃E（GF（P））は、小型グループ攻撃に対抗するための素数でなければなりません（[HMV]を参照）。したがって、このRFCで提案されているすべてのグループには、補因子1があります。プライムオーダーの曲線には注文2の点がなく、したがってY座標0には点がありません。
5. Verifiably pseudo-random. The elliptic curve domain parameters shall be generated in a pseudo-random manner using seeds that are generated in a systematic and comprehensive way. The methods by which the parameters have been obtained are explained in Appendix A.
5. 検証的に疑似ランダム。楕円曲線ドメインパラメーターは、体系的かつ包括的な方法で生成される種子を使用して、擬似ランダムな方法で生成されなければなりません。パラメーターが取得された方法については、付録Aで説明します。
6. Proof of security. For all curves, a proof should be given that all security requirements are met. These proofs are provided in [EBP].
6. セキュリティの証明。すべての曲線について、すべてのセキュリティ要件が満たされていることを証明する必要があります。これらの証明は[EBP]で提供されています。
In [BG], attacks are described that apply to elliptic curve domain parameters where q-1 has a factor u in the order of q^(1/3). However, the circumstances under which these attacks are applicable can be avoided in most applications. Therefore, no corresponding security requirement is stated here. However, it is highly recommended that developers verify the security of their implementations against this kind of attack.
[BG]では、Q^（1/3）の順にQ-1が因子Uを持っている楕円曲線ドメインパラメーターに適用される攻撃が記載されています。ただし、これらの攻撃が適用される状況は、ほとんどのアプリケーションで回避できます。したがって、ここには対応するセキュリティ要件はありません。ただし、開発者がこの種の攻撃に対して実装のセキュリティを確認することを強くお勧めします。
Commercial demands and experience with existing implementations lead to the following technical requirements for the elliptic curve domain parameters.
既存の実装に関する商業的要求と経験は、楕円曲線ドメインパラメーターの次の技術要件につながります。
1. For each of the bit lengths 160, 192, 224, 256, 320, 384, and 512, one curve shall be proposed. This requirement follows from the need for curves providing different levels of security that are appropriate for the underlying symmetric algorithms. The existing standards specify a 521-bit curve instead of a 512-bit curve.
1. ビット長160、192、224、256、320、384、および512のそれぞれについて、1つの曲線が提案されます。この要件は、基礎となる対称アルゴリズムに適したさまざまなレベルのセキュリティを提供する曲線の必要性から続きます。既存の標準は、512ビット曲線ではなく521ビット曲線を指定します。
2. The prime number p shall be congruent 3 mod 4. This requirement allows efficient point compression: one method for the transmission of curve points P=(x,y) is to transmit only x and the least significant bit LSB(y) of y. For p = 3 mod 4, we get (y^2)^((p+1)/4) = y*y^((p-1)/2), which is either y or -y by Fermat's Little Theorem; hence, y can be computed very efficiently using the curve equation. This requirement is not always met by the parameters defined in existing standards.
2. プライム番号Pは合同3 mod 4でなければなりません。この要件により、効率的なポイント圧縮が可能になります。曲線ポイントp =（x、y）の伝達の1つの方法は、xとyの最小有意なビットLSB（y）のみを送信することです。p = 3 mod 4の場合、（y^2）^（（p 1）/4）= y*y^（（p -1）/2）を取得します。これは、Fermatの小さな定理によってyまたは-yです。したがって、yは曲線方程式を使用して非常に効率的に計算できます。この要件は、既存の標準で定義されているパラメーターによって常に満たされるわけではありません。
3. The curves shall be GF(p)-isomorphic to a curve E': y^2 = x^3 + A'*x + B' mod p with A' = -3 mod p. This property permits the use of the arithmetical advantages of curves with A = -3, as shown by Brier and Joyce [BJ]. For p = 3 mod 4, approximately half of the isomorphism classes of elliptic curves over GF(p) contain a curve E' with A' = -3 mod p. Precisely, if a curve is given by E: y^2 = x^3 + A*x + B mod p with -3 = A*u^4 being solvable in GF(p) and u=Z is a solution to this equation, then the requirement is fulfilled by means of the quadratic twist E': y^2 = x^3 + Z^4*A*x + Z^6*B mod p, and the GF(p)-isomorphism is given by F(x,y) := (x*Z^2, y*Z^3). Due to this isomorphism, E(GF(p)) and E'(GF(p)) have the same number of points, share the same algebraic structure, and hence offer the same level of security. This constraint has also been used by [SEC2] and [FIPS].
3. 曲線は、a '= -3 mod pをwith with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with a bide e'：y^2 = x^3 a '*x b' mod pにgf（p）-somorphicでなければなりません。この特性により、BrierとJoyce [BJ]が示すように、A = -3で曲線の算術的利点の使用が可能になります。p = 3 mod 4の場合、GF（p）上の楕円曲線の同型クラスの約半分には、a '= -3 mod pを含む曲線e'が含まれています。正確には、曲線がe：y^2 = x^3 a*x b mod pで与えられる場合、-3 = a*u^4はgf（p）およびu = zで溶媒が溶けます。次に、要件は二次ねじれe 'によって満たされます：y^2 = x^3 z^4*a*x z^6*b mod p、およびgf（p） - 異形はf（xによって与えられます。、y）：=（x*z^2、y*z^3）。この同型のため、E（GF（P））とE '（GF（P））は同じ数のポイントを持ち、同じ代数構造を共有しているため、同じレベルのセキュリティを提供します。この制約は、[SEC2]および[FIPS]によっても使用されています。
4. The prime p must not be of any special form; this requirement is met by a verifiably pseudo-random generation of the parameters (see requirement 5 in Section 2.1). Although parameters specified by existing standards do not meet this requirement, the need for such curves over (pseudo-)randomly chosen fields has already been foreseen by the Standards for Efficient Cryptography Group (SECG), see [SEC2].
4. プライムPは特別な形であってはなりません。この要件は、パラメーターの検証可能な擬似ランダム生成によって満たされます（セクション2.1の要件5を参照）。既存の標準で指定されたパラメーターはこの要件を満たしていませんが、そのような曲線の必要性（擬似）ランダムに選択されたフィールドの必要性は、効率的な暗号化グループ（SECG）の標準によってすでに予見されています。[SEC2]を参照してください。
5. #E(GF(p)) < p. As a consequence of the Hasse-Weil Theorem, the number of points #E(GF(p)) may be greater than the characteristic p of the prime field GF(p). In some cases, even the bit-length of #E(GF(p)) can exceed the bit-length of p. To avoid overruns in implementations, we require that #E(GF(p)) < p. In order to thwart attacks on digital signature schemes, some authors propose to use q > p, but the attacks described, e.g., in [BRS], appear infeasible in a well-designed Public Key Infrastructure (PKI).
5. ＃e（gf（p））<p。Hasse-Weil定理の結果として、ポイント＃e（gf（p））の数は、プライムフィールドGF（p）の特性Pよりも大きい場合があります。場合によっては、#e（gf（p））のビット長さでさえ、pのビット長を超えることができます。実装のオーバーランを避けるために、#e（gf（p））<pが必要です。デジタル署名スキームに対する攻撃を阻止するために、一部の著者はQ> Pを使用することを提案しますが、例えば[BRS]で説明されている攻撃は、適切に設計された公開インフラストラクチャ（PKI）では実行不可能に見えます。
6. B shall be a non-square mod p. Otherwise, the compressed representations of the curve-points (0,0) and (0,X), with X being the square root of B with a least significant bit of 0, would be identical. As there are implementations of elliptic curves that encode the point at infinity as (0,0), we try to avoid ambiguities. Note that this condition is stable under quadratic twists as described in condition 3 above. Condition 6 makes the attack described in [G] impossible. It can therefore also be seen as a security requirement. This constraint has not been specified by existing standards.
6. bは非二乗mod pでなければならない。それ以外の場合、曲線点（0,0）と（0、x）の圧縮表現は、xがBの平方根である0の平方根であることが同一です。（0,0）として無限のポイントをエンコードする楕円曲線の実装があるため、あいまいさを避けようとします。上記の条件3で説明されているように、この条件は二次ねじで安定していることに注意してください。条件6は、[g]で説明されている攻撃を不可能にします。したがって、セキュリティ要件と見なすこともできます。この制約は、既存の標準によって指定されていません。
In this section, the elliptic curve domain parameters proposed are specified in the following way.
このセクションでは、提案されている楕円曲線ドメインパラメーターを次の方法で指定します。
For all curves, an ID is given by which it can be referenced.
すべての曲線について、IDが指定できるIDが与えられます。
p is the prime specifying the base field.
Pは、ベースフィールドを指定するプライムです。
A and B are the coefficients of the equation y^2 = x^3 + A*x + B mod p defining the elliptic curve.
aとbは、楕円曲線を定義する方程式y^2 = x^3 a*x b mod pの係数です。
G = (x,y) is the base point, i.e., a point in E of prime order,
with x and y being its x- and y-coordinates, respectively.
q is the prime order of the group generated by G.
Qは、Gによって生成されたグループの主要な順序です。
h is the cofactor of G in E, i.e., #E(GF(p))/q.
HはE、つまり＃e（gf（p））/qのgの補因子です。
For the twisted curve, we also give the coefficient Z that defines the isomorphism F (see requirement 3 in Section 2.2).
ねじれた曲線については、異性体Fを定義する係数Zも示します（セクション2.2の要件3を参照）。
The methods for the generation of the parameters are given in Appendix A. Proofs for the fulfillment of the security requirements specified in Section 2.1 are given in [EBP].
パラメーターの生成の方法は、付録Aに記載されています。セクション2.1で指定されたセキュリティ要件の履行に関する証明は、[EBP]に記載されています。
Curve-ID: brainpoolP160r1
曲線ID：BrainPoolp160R1
p = E95E4A5F737059DC60DFC7AD95B3D8139515620F
A = 340E7BE2A280EB74E2BE61BADA745D97E8F7C300
B = 1E589A8595423412134FAA2DBDEC95C8D8675E58
x = BED5AF16EA3F6A4F62938C4631EB5AF7BDBCDBC3
y = 1667CB477A1A8EC338F94741669C976316DA6321
q = E95E4A5F737059DC60DF5991D45029409E60FC09
h = 1
#Twisted curve
#TWisted Curve
Curve-ID: brainpoolP160t1
曲線ID：BrainPoolp160T1
Z = 24DBFF5DEC9B986BBFE5295A29BFBAE45E0F5D0B
A = E95E4A5F737059DC60DFC7AD95B3D8139515620C
B = 7A556B6DAE535B7B51ED2C4D7DAA7A0B5C55F380
x = B199B13B9B34EFC1397E64BAEB05ACC265FF2378
y = ADD6718B7C7C1961F0991B842443772152C9E0AD
q = E95E4A5F737059DC60DF5991D45029409E60FC09
h = 1
Curve-ID: brainpoolP192r1
曲線ID：BrainPoolp192R1
p = C302F41D932A36CDA7A3463093D18DB78FCE476DE1A86297
A = 6A91174076B1E0E19C39C031FE8685C1CAE040E5C69A28EF
B = 469A28EF7C28CCA3DC721D044F4496BCCA7EF4146FBF25C9
x = C0A0647EAAB6A48753B033C56CB0F0900A2F5C4853375FD6
y = 14B690866ABD5BB88B5F4828C1490002E6773FA2FA299B8F
q = C302F41D932A36CDA7A3462F9E9E916B5BE8F1029AC4ACC1
h = 1
#Twisted curve
#TWisted Curve
Curve-ID: brainpoolP192t1
曲線ID：BrainPoolp192T1
Z = 1B6F5CC8DB4DC7AF19458A9CB80DC2295E5EB9C3732104CB
A = C302F41D932A36CDA7A3463093D18DB78FCE476DE1A86294
B = 13D56FFAEC78681E68F9DEB43B35BEC2FB68542E27897B79
x = 3AE9E58C82F63C30282E1FE7BBF43FA72C446AF6F4618129
y = 097E2C5667C2223A902AB5CA449D0084B7E5B3DE7CCC01C9
q = C302F41D932A36CDA7A3462F9E9E916B5BE8F1029AC4ACC1
h = 1
Curve-ID: brainpoolP224r1
曲線ID：BrainPoolp224R1
p = D7C134AA264366862A18302575D1D787B09F075797DA89F57EC8C0FF
A = 68A5E62CA9CE6C1C299803A6C1530B514E182AD8B0042A59CAD29F43
B = 2580F63CCFE44138870713B1A92369E33E2135D266DBB372386C400B
x = 0D9029AD2C7E5CF4340823B2A87DC68C9E4CE3174C1E6EFDEE12C07D
y = 58AA56F772C0726F24C6B89E4ECDAC24354B9E99CAA3F6D3761402CD
q = D7C134AA264366862A18302575D0FB98D116BC4B6DDEBCA3A5A7939F
h = 1
#Twisted curve
#TWisted Curve
Curve-ID: brainpoolP224t1
曲線ID：BrainPoolp224T1
Z = 2DF271E14427A346910CF7A2E6CFA7B3F484E5C2CCE1C8B730E28B3F
A = D7C134AA264366862A18302575D1D787B09F075797DA89F57EC8C0FC
B = 4B337D934104CD7BEF271BF60CED1ED20DA14C08B3BB64F18A60888D
x = 6AB1E344CE25FF3896424E7FFE14762ECB49F8928AC0C76029B4D580
y = 0374E9F5143E568CD23F3F4D7C0D4B1E41C8CC0D1C6ABD5F1A46DB4C
q = D7C134AA264366862A18302575D0FB98D116BC4B6DDEBCA3A5A7939F
h = 1
Curve-ID: brainpoolP256r1
曲線ID：BrainPoolp256R1
p =
A9FB57DBA1EEA9BC3E660A909D838D726E3BF623D52620282013481D1F6E5377
A =
7D5A0975FC2C3057EEF67530417AFFE7FB8055C126DC5C6CE94A4B44F330B5D9
B =
26DC5C6CE94A4B44F330B5D9BBD77CBF958416295CF7E1CE6BCCDC18FF8C07B6
x =
8BD2AEB9CB7E57CB2C4B482FFC81B7AFB9DE27E1E3BD23C23A4453BD9ACE3262
y =
547EF835C3DAC4FD97F8461A14611DC9C27745132DED8E545C1D54C72F046997
q =
A9FB57DBA1EEA9BC3E660A909D838D718C397AA3B561A6F7901E0E82974856A7
h = 1
#Twisted curve
#TWisted Curve
Curve-ID: brainpoolP256t1
曲線ID：BrainPoolp256T1
Z =
3E2D4BD9597B58639AE7AA669CAB9837CF5CF20A2C852D10F655668DFC150EF0
A =
A9FB57DBA1EEA9BC3E660A909D838D726E3BF623D52620282013481D1F6E5374
B =
662C61C430D84EA4FE66A7733D0B76B7BF93EBC4AF2F49256AE58101FEE92B04
x =
A3E8EB3CC1CFE7B7732213B23A656149AFA142C47AAFBC2B79A191562E1305F4
y =
2D996C823439C56D7F7B22E14644417E69BCB6DE39D027001DABE8F35B25C9BE
q =
A9FB57DBA1EEA9BC3E660A909D838D718C397AA3B561A6F7901E0E82974856A7
h = 1
Curve-ID: brainpoolP320r1
曲線ID：BrainPoolP320R1
p = D35E472036BC4FB7E13C785ED201E065F98FCFA6F6F40DEF4F92B9EC7893EC 28FCD412B1F1B32E27
P = D35E472036BC4FB7E13C785ED201E065F98FCFA6F6F40DEF4F92B9EC7893EC 28FCD412B1F1B32E27
A = 3EE30B568FBAB0F883CCEBD46D3F3BB8A2A73513F5EB79DA66190EB085FFA9 F492F375A97D860EB4
A = 3EE30B568FBAB0F883CCEBD46D3F3BB8A2A73513F5EB79DA66190EB085FFA9 F492F375A97D860EB4
B = 520883949DFDBC42D3AD198640688A6FE13F41349554B49ACC31DCCD884539 816F5EB4AC8FB1F1A6
B = 520883949DFDBC42D3AD198640688A6FE13F41349554B49ACC31DCCD884539 816F5EB4AC8FB1F1A6
x = 43BD7E9AFB53D8B85289BCC48EE5BFE6F20137D10A087EB6E7871E2A10A599 C710AF8D0D39E20611
X = 43BD7E9AFB53D8B85289BCC48EE5BFE6F20137D10A087EB6E7871E2A10A599 C710AF8D0D39E20611
y = 14FDD05545EC1CC8AB4093247F77275E0743FFED117182EAA9C77877AAAC6A C7D35245D1692E8EE1
Y = 14FDD05545EC1CC8AB4093247F77275E0743FFED117182EAA9C778777AAAC6A C7D35245D1692E8EE1
q = D35E472036BC4FB7E13C785ED201E065F98FCFA5B68F12A32D482EC7EE8658 E98691555B44C59311
Q = D35E472036BC4FB7E13C785ED201E065F98FCFA5B68F12A32D482EC7EE8658 E986915555B44C59311
h = 1
#Twisted curve
#TWisted Curve
Curve-ID: brainpoolP320t1
曲線ID：BrainPoolP320T1
Z = 15F75CAF668077F7E85B42EB01F0A81FF56ECD6191D55CB82B7D861458A18F EFC3E5AB7496F3C7B1
Z = 15F75CAF668077F7E85B42EB01F0A81FF56ECD6191D55CB82B7D861458A18F EFC3E5AB7496F3C7B1
A = D35E472036BC4FB7E13C785ED201E065F98FCFA6F6F40DEF4F92B9EC7893EC 28FCD412B1F1B32E24
A = D35E472036BC4FB7E13C785ED201E065F98FCFA6F6F40DEF4F92B9EC7893EC 28FCD412B1F1B32E24
B = A7F561E038EB1ED560B3D147DB782013064C19F27ED27C6780AAF77FB8A547 CEB5B4FEF422340353
B = A7F561E038EB1ED560B3D147DB782013064C19F27ED27C6780AAF77FB8A547 CEB5B4FEF422340353
x = 925BE9FB01AFC6FB4D3E7D4990010F813408AB106C4F09CB7EE07868CC136F FF3357F624A21BED52
X = 925BE9FB01AFC6FB4D3E7D4990010F813408AB106C4F09CB7EE07868CC136F FF3357F624A21BED52
y = 63BA3A7A27483EBF6671DBEF7ABB30EBEE084E58A0B077AD42A5A0989D1EE7 1B1B9BC0455FB0D2C3
Y = 63BA3A7A27483EBF6671DBEF7ABB30EBEE084E58A0B077AD42A5A0989D1EE7 1B1B9BC04555FB0D2C3
q = D35E472036BC4FB7E13C785ED201E065F98FCFA5B68F12A32D482EC7EE8658 E98691555B44C59311
Q = D35E472036BC4FB7E13C785ED201E065F98FCFA5B68F12A32D482EC7EE8658 E986915555B44C59311
h = 1
Curve-ID: brainpoolP384r1
曲線ID：BrainPoolP384R1
p = 8CB91E82A3386D280F5D6F7E50E641DF152F7109ED5456B412B1DA197FB711
23ACD3A729901D1A71874700133107EC53
A = 7BC382C63D8C150C3C72080ACE05AFA0C2BEA28E4FB22787139165EFBA91F9
0F8AA5814A503AD4EB04A8C7DD22CE2826
B = 04A8C7DD22CE28268B39B55416F0447C2FB77DE107DCD2A62E880EA53EEB62
D57CB4390295DBC9943AB78696FA504C11
x = 1D1C64F068CF45FFA2A63A81B7C13F6B8847A3E77EF14FE3DB7FCAFE0CBD10
E8E826E03436D646AAEF87B2E247D4AF1E
y = 8ABE1D7520F9C2A45CB1EB8E95CFD55262B70B29FEEC5864E19C054FF99129
280E4646217791811142820341263C5315
q = 8CB91E82A3386D280F5D6F7E50E641DF152F7109ED5456B31F166E6CAC0425
A7CF3AB6AF6B7FC3103B883202E9046565
h = 1
#Twisted curve
#TWisted Curve
Curve-ID: brainpoolP384t1
カーブ-ID：BrainPoolP384T1
Z = 41DFE8DD399331F7166A66076734A89CD0D2BCDB7D068E44E1F378F41ECBAE
97D2D63DBC87BCCDDCCC5DA39E8589291C
A = 8CB91E82A3386D280F5D6F7E50E641DF152F7109ED5456B412B1DA197FB711
23ACD3A729901D1A71874700133107EC50
B = 7F519EADA7BDA81BD826DBA647910F8C4B9346ED8CCDC64E4B1ABD11756DCE
1D2074AA263B88805CED70355A33B471EE
x = 18DE98B02DB9A306F2AFCD7235F72A819B80AB12EBD653172476FECD462AAB
FFC4FF191B946A5F54D8D0AA2F418808CC
y = 25AB056962D30651A114AFD2755AD336747F93475B7A1FCA3B88F2B6A208CC
FE469408584DC2B2912675BF5B9E582928
q = 8CB91E82A3386D280F5D6F7E50E641DF152F7109ED5456B31F166E6CAC0425
A7CF3AB6AF6B7FC3103B883202E9046565
h = 1
Curve-ID: brainpoolP512r1
曲線ID：BrainPoolp512R1
p = AADD9DB8DBE9C48B3FD4E6AE33C9FC07CB308DB3B3C9D20ED6639CCA703308
717D4D9B009BC66842AECDA12AE6A380E62881FF2F2D82C68528AA6056583A48F3
A = 7830A3318B603B89E2327145AC234CC594CBDD8D3DF91610A83441CAEA9863
BC2DED5D5AA8253AA10A2EF1C98B9AC8B57F1117A72BF2C7B9E7C1AC4D77FC94CA
B = 3DF91610A83441CAEA9863BC2DED5D5AA8253AA10A2EF1C98B9AC8B57F1117
A72BF2C7B9E7C1AC4D77FC94CADC083E67984050B75EBAE5DD2809BD638016F723
x = 81AEE4BDD82ED9645A21322E9C4C6A9385ED9F70B5D916C1B43B62EEF4D009
8EFF3B1F78E2D0D48D50D1687B93B97D5F7C6D5047406A5E688B352209BCB9F822
y = 7DDE385D566332ECC0EABFA9CF7822FDF209F70024A57B1AA000C55B881F81
11B2DCDE494A5F485E5BCA4BD88A2763AED1CA2B2FA8F0540678CD1E0F3AD80892
q = AADD9DB8DBE9C48B3FD4E6AE33C9FC07CB308DB3B3C9D20ED6639CCA703308
70553E5C414CA92619418661197FAC10471DB1D381085DDADDB58796829CA90069
h = 1
#Twisted curve
#TWisted Curve
Curve-ID: brainpoolP512t1
曲線ID：BrainPoolp512T1
Z = 12EE58E6764838B69782136F0F2D3BA06E27695716054092E60A80BEDB212B
64E585D90BCE13761F85C3F1D2A64E3BE8FEA2220F01EBA5EEB0F35DBD29D922AB
A = AADD9DB8DBE9C48B3FD4E6AE33C9FC07CB308DB3B3C9D20ED6639CCA703308
717D4D9B009BC66842AECDA12AE6A380E62881FF2F2D82C68528AA6056583A48F0
B = 7CBBBCF9441CFAB76E1890E46884EAE321F70C0BCB4981527897504BEC3E36
A62BCDFA2304976540F6450085F2DAE145C22553B465763689180EA2571867423E
x = 640ECE5C12788717B9C1BA06CBC2A6FEBA85842458C56DDE9DB1758D39C031
3D82BA51735CDB3EA499AA77A7D6943A64F7A3F25FE26F06B51BAA2696FA9035DA
y = 5B534BD595F5AF0FA2C892376C84ACE1BB4E3019B71634C01131159CAE03CE
E9D9932184BEEF216BD71DF2DADF86A627306ECFF96DBB8BACE198B61E00F8B332
q = AADD9DB8DBE9C48B3FD4E6AE33C9FC07CB308DB3B3C9D20ED6639CCA703308
70553E5C414CA92619418661197FAC10471DB1D381085DDADDB58796829CA90069
h = 1
The root of the tree for the object identifiers defined in this specification is given by:
この仕様で定義されているオブジェクト識別子のツリーのルートは、次のように与えられます。
ecStdCurvesAndGeneration OBJECT IDENTIFIER::= {iso(1)
identified-organization(3) teletrust(36) algorithm(3) signature-
algorithm(3) ecSign(2) 8}
The object identifier ellipticCurve represents the tree for domain parameter sets. It has the following value:
オブジェクト識別子ellipticcurveは、ドメインパラメーターセットのツリーを表します。次の値があります。
ellipticCurve OBJECT IDENTIFIER ::= {ecStdCurvesAndGeneration 1}
The tree containing the object identifiers for each set of domain parameters defined in this RFC is:
このRFCで定義されているドメインパラメーターの各セットのオブジェクト識別子を含むツリーは次のとおりです。
versionOne OBJECT IDENTIFIER ::= {ellipticCurve 1}
The following object identifiers represent the domain parameter sets defined in this RFC:
次のオブジェクト識別子は、このRFCで定義されているドメインパラメーターセットを表します。
brainpoolP160r1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 1}
brainpoolP160t1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 2}
brainpoolP192r1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 3}
brainpoolP192t1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 4}
brainpoolP224r1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 5}
brainpoolP224t1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 6}
brainpoolP256r1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 7}
brainpoolP256t1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 8}
brainpoolP320r1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 9}
brainpoolP320t1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 10}
brainpoolP384r1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 11}
brainpoolP384t1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 12}
brainpoolP512r1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 13}
brainpoolP512t1 OBJECT IDENTIFIER ::= {versionOne 14}
The domain parameters specified in this RFC SHALL be used with X.509 certificates in accordance with [RFC5480]. In particular,
このRFCで指定されたドメインパラメーターは、[RFC5480]に従ってX.509証明書で使用するものとします。特に、
o the algorithm field of subjectPublicKeyInfo MUST be set to:
o 件名のアルゴリズムフィールドは、次のように設定する必要があります。
* id-ecPublicKey, if the algorithms that can be used with the subject public key are not restricted, or
* id-ecpublickey、サブジェクトの公開キーで使用できるアルゴリズムが制限されていない場合、または
* id-ecDH to restrict the usage of the subject public key to Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) key agreement, or
* id-ecdh対象の公開鍵の楕円曲線diffie-hellman（ecdh）キー契約を制限する、または
* id-ecMQV to restrict the usage of the subject public key to Elliptic Curve Menezes-Qu-Vanstone (ECMQV) key agreement, and
* ID-ECMQV対象の公開鍵の楕円曲線Menezes-QU-VanStone（ECMQV）のキー契約を制限するために、
o the field algorithm.parameter of subjectPublicKeyInfo MUST be of type:
o subjectpublickeyinfoのフィールドアルゴリス。パラメーターは、次のタイプでなければなりません。
* namedCurve to specify the domain parameters by one of the Object Identifiers (OIDs) defined in Section 4.1, or
* AndamedCurveセクション4.1で定義されているオブジェクト識別子の1つ（OIDS）によってドメインパラメーターを指定するか、
* specifiedCurve to specify the domain parameters explicitly as defined in [RFC5480], or
* [RFC5480]で定義されているようにドメインパラメーターを明示的に指定するように指定
* implicitCurve, if the domain parameters are found in an issuer's certificate.
* ImplicitCurve、ドメインパラメーターが発行者の証明書に記載されている場合。
If the domain parameters are explicitly specified using the type specifiedCurve in the field algorithm.parameter of subjectPublicKeyInfo, ANSI X9.62 [ANSI1] and [RFC5480] allow indicating whether or not a curve and base point have been generated verifiably in a pseudo-random way. Although the parameters specified in Section 3 have all been generated by the pseudo-random methods described in Appendix A, these algorithms deviate from those mandated in ANSI X9.62, A.3.3.1. Consequently, applications following ANSI X9.62 or [RFC5480] will not be able to verify the pseudo-randomness of the parameters. In order to avoid rejection of the parameters, the ASN.1 encoding SHOULD NOT specify that the curve or base point has been generated verifiably at random. In particular, certification authorities (CAs) SHOULD set the contents of specifiedCurve in the following way:
ドメインパラメーターが、件名X9.62 [ANSI1]および[RFC5480]のフィールドAlgorithM.ParameterのフィールドAlgorithM.Parameterの型を使用して明示的に指定されている場合、Pseudo-randomでの曲線とベースポイントが生成されたかどうかを示すことができます。道。セクション3で指定されたパラメーターはすべて、付録Aに記載されている擬似ランダム法によって生成されていますが、これらのアルゴリズムはANSI X9.62、A.3.3.1で義務付けられたアルゴリズムから逸脱しています。その結果、ANSI X9.62または[RFC5480]に続くアプリケーションは、パラメーターの擬似ランダム性を検証することができません。パラメーターの拒否を回避するために、ASN.1エンコードは、曲線またはベースポイントがランダムに検証されて生成されたことを指定するべきではありません。特に、認定当局（CAS）は、speciedcurveの内容を次の方法で設定する必要があります。
o version is set to ecpVer1(1).
o バージョンはECPVER1（1）に設定されています。
o fieldId includes the fieldType prime-field and as parameter the value p of the selected domain parameters as specified in Section 3.
o FieldIDには、FieldType Prime-Fieldが含まれ、パラメーターとして、セクション3で指定されている選択したドメインパラメーターの値pが含まれます。
o curve includes the values a and b of the selected domain parameters as specified in Section 3, but seed is absent.
o 曲線には、セクション3で指定されている選択したドメインパラメーターの値AとBが含まれますが、種子は存在しません。
o base is the octet string representation of the base point G of the selected domain parameters as specified in Section 3.
o ベースは、セクション3で指定されているように、選択したドメインパラメーターのベースポイントGのオクテット文字列表現です。
o order is set to q of the selected domain parameters as specified in Section 3.
o 順序は、セクション3で指定されているように、選択したドメインパラメーターのQに設定されます。
o cofactor is set to 1.
o 補因子は1に設定されています。
o hash is absent.
o ハッシュはありません。
The level of security provided by symmetric ciphers and hash functions used in conjunction with the elliptic curve domain parameters specified in this RFC should roughly match or exceed the level provided by the domain parameters. The following table indicates the minimum key sizes for symmetric ciphers and hash functions providing at least (roughly) comparable security.
このRFCで指定された楕円曲線ドメインパラメーターと組み合わせて使用される対称暗号によって提供されるセキュリティのレベルと、ハッシュ関数は、ドメインパラメーターによって提供されるレベルにほぼ一致するか、それを超える必要があります。次の表は、少なくとも（ほぼ）同等のセキュリティを提供する対称暗号とハッシュ関数の最小キーサイズを示しています。
+--------------------+--------------------+-------------------------+
| elliptic curve | minimum length of | hash functions |
| domain parameters | symmetric keys | |
+--------------------+--------------------+-------------------------+
| brainpoolP160r1 | 80 | SHA-1, SHA-224, |
| | | SHA-256, SHA-384, |
| | | SHA-512 |
| | | |
| brainpoolP192r1 | 96 | SHA-224, SHA-256, |
| | | SHA-384, SHA-512 |
| | | |
| brainpoolP224r1 | 112 | SHA-224, SHA-256, |
| | | SHA-384, SHA-512 |
| | | |
| brainpoolP256r1 | 128 | SHA-256, SHA-384, |
| | | SHA-512 |
| | | |
| brainpoolP320r1 | 160 | SHA-384, SHA-512 |
| | | |
| brainpoolP384r1 | 192 | SHA-384, SHA-512 |
| | | |
| brainpoolP512r1 | 256 | SHA-512 |
+--------------------+--------------------+-------------------------+
Table 1
表1
Security properties of the elliptic curve domain parameters specified in this RFC are discussed in Section 2.1. Further security discussions specific to elliptic curve cryptography can be found in [ANSI1] and [SEC1].
このRFCで指定された楕円曲線ドメインパラメーターのセキュリティプロパティについては、セクション2.1で説明します。楕円曲線暗号化に固有のさらなるセキュリティディスカッションは、[ANSI1]および[SEC1]に記載されています。
The authors have no knowledge about any intellectual property rights that cover the usage of the domain parameters defined herein. However, readers should be aware that implementations based on these domain parameters may require use of inventions covered by patent rights.
著者は、ここで定義されているドメインパラメーターの使用をカバーする知的財産権についての知識はありません。ただし、読者は、これらのドメインパラメーターに基づく実装では、特許権の対象となる発明の使用が必要になる場合があることに注意する必要があります。
[ANSI1] American National Standards Institute, "Public Key Cryptography For The Financial Services Industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)", ANSI X9.62, 2005.
[ANSI1] American National Standards Institute、「金融サービス業界向けの公開鍵暗号：Elliptic Curve Digital Signature Algorithm（ECDSA）」、ANSI X9.62、2005。
[RFC2119] Bradner, S., "Key words for use in RFCs to Indicate Requirement Levels", BCP 14, RFC 2119, March 1997.
[RFC2119] Bradner、S。、「要件レベルを示すためにRFCで使用するためのキーワード」、BCP 14、RFC 2119、1997年3月。
[RFC5480] Turner, S., Brown, D., Yiu, K., Housley, R., and T. Polk, "Elliptic Curve Cryptography Subject Public Key Information", RFC 5480, March 2009.
[RFC5480] Turner、S.、Brown、D.、Yiu、K.、Housley、R。、およびT. Polk、「楕円曲線暗号化主題公開情報」、RFC 5480、2009年3月。
[ANSI2] American National Standards Institute, "Public Key Cryptography For The Financial Services Industry: Key Agreement and Key Transport Using The Elliptic Curve Cryptography", ANSI X9.63, 2001.
[ANSI2] American National Standards Institute、「金融サービス業界向けの公開主要な暗号化：楕円曲線暗号化を使用した主要な合意と主要な輸送」、ANSI X9.63、2001。
[BJ] Brier, E. and M. Joyce, "Fast Multiplication on Elliptic Curves through Isogenies", Applied Algebra Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes, Lecture Notes in Computer Science 2643, Springer Verlag, 2003.
[BJ] Brier、E。およびM. Joyce、「Isogeniesによる楕円曲線の高速乗算」、適用された代数代数アルゴリズムとエラー修正コード、コンピューターサイエンス2643の講義ノート、Springer Verlag、2003。
[BG] Brown, J. and R. Gallant, "The Static Diffie-Hellman Problem", Centre for Applied Cryptographic Research, University of Waterloo, Technical Report CACR 2004-10, 2005.
[BG] Brown、J。およびR. Gallant、「Static Diffie-Hellman問題」、応用暗号研究センター、ウォータールー大学、テクニカルレポートCACR 2004-10、2005。
[BRS] Bohli, J., Roehrich, S., and R. Steinwandt, "Key Substitution Attacks Revisited: Taking into Account Malicious Signers", International Journal of Information Security Volume 5, Issue 1, January 2006.
[BRS] Bohli、J.、Roehrich、S。、およびR. Steinwandt、「主要な代替攻撃が再訪：悪意のある署名者を考慮に入れて」、International Journal of Information Security Volume 5、Issue 1、2006年1月。
[BSS] Blake, I., Seroussi, G., and N. Smart, "Elliptic Curves in Cryptography", Cambridge University Press, 1999.
[BSS] Blake、I.、Seroussi、G。、およびN. Smart、「暗号化の楕円曲線」、Cambridge University Press、1999。
[EBP] ECC Brainpool, "ECC Brainpool Standard Curves and Curve Generation", October 2005, <http://www.ecc-brainpool.org/ download/Domain-parameters.pdf>.
[EBP] ECC Brainpool、「ECC Brainpool Standard Curves and Curve Generation」、2005年10月、<http://www.ecc-brainpool.org/ download/domain-parameters.pdf>。
[ETSI] European Telecommunications Standards Institute (ETSI), "Algorithms and Parameters for Secure Electronic Signatures, Part 1: Hash Functions and Asymmetric Algorithms", TS 102 176-1, July 2005.
[ETSI]欧州通信標準研究所（ETSI）、「安全な電子署名のアルゴリズムとパラメーター、パート1：ハッシュ関数と非対称アルゴリズム」、TS 102 176-1、2005年7月。
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[FIPS]国立標準技術研究所、「デジタル署名標準（DSS）」、FIPS Pub 186-2、1998年12月。
[G] Goubin, L., "A Refined Power-Analysis-Attack on Elliptic Curve Cryptosystems", Proceedings of Public-Key-Cryptography - PKC 2003, Lecture Notes in Computer Science 2567, Springer Verlag, 2003.
[G] Goubin、L。、「楕円曲線暗号システムの洗練された電力分析攻撃」、Proceedings of Public-Key-cryptography-PKC 2003、Computer Science 2567、Springer Verlag、2003年の講義ノート。
[CFDA] Cohen, H., Frey, G., Doche, C., Avanzi, R., Lange, T., Nguyen, K., and F. Vercauteren, "Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography", Chapman & Hall CRC Press, 2006.
[CFDA] Cohen、H.、Frey、G.、Doche、C.、Avanzi、R.、Lange、T.、Nguyen、K。、およびF. Vercauteren、 "楕円形および高楕円曲線暗号のハンドブック"、Chapman＆＆ホールCRCプレス、2006年。
[HMV] Hankerson, D., Menezes, A., and S. Vanstone, "Guide to Elliptic Curve Cryptography", Springer Verlag, 2004.
[HMV] Hankerson、D.、Menezes、A。、およびS. Vanstone、「楕円曲線暗号化のガイド」、Springer Verlag、2004。
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[HR] Huang、M。and W. Raskind、「楕円曲線の署名計算と離散対数問題（予備版）」、未発表のプレプリント、2006年、<http://www-rcf.usc.edu/~mdhuang/MyPapers/062806dl3.pdf>。
[ISO1] International Organization for Standardization, "Information Technology - Security Techniques - Digital Signatures with Appendix - Part 3: Discrete Logarithm Based Mechanisms", ISO/IEC 14888-3, 2006.
[ISO1]国際標準化機関、「情報技術 - セキュリティ技術 - 付録付きデジタル署名 - パート3：離散対数ベースのメカニズム」、ISO/IEC 14888-3、2006。
[ISO2] International Organization for Standardization, "Information Technology - Security Techniques - Cryptographic Techniques Based on Elliptic Curves - Part 2: Digital signatures", ISO/IEC 15946-2, 2002.
[ISO2]国際標準化機関、「情報技術 - セキュリティ技術 - 楕円曲線に基づく暗号化技術 - パート2：デジタル署名」、ISO/IEC 15946-2、2002。
[ISO3] International Organization for Standardization, "Information Technology - Security Techniques - Prime Number Generation", ISO/IEC 18032, 2005.
[ISO3]国際標準化機関、「情報技術 - セキュリティ技術 - プライムナンバージェネレーション」、ISO/IEC 18032、2005。
[JMV] Jao, D., Miller, SD., and R. Venkatesan, "Ramanujan Graphs and the Random Reducibility of Discrete Log on Isogenous Elliptic Curves", IACR Cryptology ePrint Archive 2004/312, 2004.
[JMV] Jao、D.、Miller、Sd。、およびR. Venkatesan、「ラマヌジャングラフと同質楕円曲線上の離散ログのランダムな削減」、IACR Cryptology Eprint Archive 2004/312、2004。
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[RFC3279] Bassham、L.、Polk、W。、およびR. Housley、「インターネットX.509公開キーインフラストラクチャ証明書および証明書取消リスト（CRL）プロファイルのアルゴリズムと識別子」、RFC 3279、2002年4月。
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[RFC4050] Blake-Wilson、S.、Karlinger、G.、Kobayashi、T。、およびY. Wang、「XMLデジタル署名の楕円曲線シグネチャアルゴリズム（ECDSA）を使用して」、RFC 4050、2005年4月。
[RFC4492] Blake-Wilson, S., Bolyard, N., Gupta, V., Hawk, C., and B. Moeller, "Elliptic Curve Cryptography (ECC) Cipher Suites for Transport Layer Security (TLS)", RFC 4492, May 2006.
[RFC4492] Blake-Wilson、S.、Bolyard、N.、Gupta、V.、Hawk、C。、およびB. Moeller、 "楕円曲線暗号化（ECC）輸送層セキュリティ（TLS）の暗号スイート"、RFC 4492、2006年5月。
[RFC4754] Fu, D. and J. Solinas, "IKE and IKEv2 Authentication Using the Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)", RFC 4754, January 2007.
[RFC4754] Fu、D。およびJ. Solinas、「IkeおよびIKEV2認証楕円曲線デジタル署名アルゴリズム（ECDSA）」、RFC 4754、2007年1月。
[RFC5753] Turner, S. and D. Brown, "Use of Elliptic Curve Cryptography (ECC) Algorithms in Cryptographic Message Syntax (CMS)", RFC 5753, January 2010.
[RFC5753] Turner、S。およびD. Brown、「暗号化メッセージ構文（CMS）における楕円曲線暗号化（ECC）アルゴリズムの使用」、RFC 5753、2010年1月。
[SA] Satoh, T. and K. Araki, "Fermat Quotients and the Polynomial Time Discrete Log Algorithm for Anomalous Elliptic Curves", Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli 47, 1998.
[Sa] Satoh、T。and K. araki、「フェルマトの商と異常な楕円曲線の多項式時間離散ログアルゴリズム」、Commentarii mathematici universitatis sancti pauli 47、1998。
[SEC1] Certicom Research, "Elliptic Curve Cryptography", Standards for Efficient Cryptography (SEC) 1, September 2000.
[SEC1] Certicom Research、「楕円曲線暗号化」、効率的な暗号化の基準（SEC）1、2000年9月。
[SEC2] Certicom Research, "Recommended Elliptic Curve Domain Parameters", Standards for Efficient Cryptography (SEC) 2, September 2000.
[SEC2] Certicom Research、「推奨される楕円曲線ドメインパラメーター」、2000年9月、効率的な暗号化の基準（SEC）2。
[Sem] Semaev, I., "Evaluation of Discrete Logarithms on Some Elliptic Curves", Mathematics of Computation 67, 1998.
[SEM] Semaev、I。、「いくつかの楕円曲線での離散対数の評価」、計算の数学67、1998。
[Sma] Smart, N., "The Discrete Logarithm Problem on Elliptic Curves of Trace One", Journal of Cryptology 12, 1999.
[SMA] Smart、N。、「トレース1の楕円曲線に関する離散対数問題」、Journal of Cryptology 12、1999。
In this appendix, the methods used for pseudo-random generation of the elliptic curve domain parameters are described. A comprehensive description is given in [EBP].
この付録では、楕円曲線ドメインパラメーターの擬似ランダム生成に使用される方法について説明します。包括的な説明は[EBP]に記載されています。
Throughout this section the following conventions are used:
このセクション全体で、次の規則が使用されています。
The conversion between integers x in the range 0 <= x <= 2^L - 1 and bit strings of length L is given by x <--> {x_1,...,x_L} and the binary expansion x = x_1 * 2^(L-1) + x_2 * 2^(L-2) + ... + x_(L-1)*2 + x_L, i.e., the first bit of the bit string corresponds to the most significant bit of the corresponding integer and the last bit to the least significant bit.
範囲0 <= x <= 2^l-1と長さlのビット文字列の整数x間の変換は、x < - > {x_1、...、x_l}で与えられますx = x_1 *2^（l-1）x_2 * 2^（l-2）... x_（l-1） * 2 x_l、つまり、ビット文字列の最初のビットは、対応する整数と最後のビットから最も重要なビット。
For a real number x, let floor(x) denote the highest integer less than or equal to x.
実数xの場合、floor（x）をx以下の最高整数を示します。
For updating the seed s of 160-bit length we use the following function update_seed(s):
160ビットの長さのシードSを更新するには、次の関数update_seed（s）を使用します。
1. Convert s to an integer z.
1. sを整数zに変換します。
2. Convert (z+1) mod 2^160 to a bit string t and output t.
2. （z 1）mod 2^160を少し文字列tに変換し、出力tに変換します。
This section describes the systematic selection of the base fields GF(p) proposed in this specification. The prime generation method is similar to the method given in FIPS 186-2 [FIPS], Appendix 6.4, and ANSI X9.62 [ANSI1], A.3.2. It is a modification of the method "incremental search" given in Section 8.2.2 of [ISO3].
このセクションでは、この仕様で提案されているベースフィールドGF（P）の体系的な選択について説明します。プライムジェネレーション方法は、FIPS 186-2 [FIPS]、付録6.4、およびANSI X9.62 [ANSI1]、A.3.2で与えられた方法に似ています。これは、[ISO3]のセクション8.2.2に記載されているメソッド「増分検索」の変更です。
For computing an integer x in the range 0 <= x <= 2^L - 1 from a seed s of 160-bit length, we use the following algorithm find_integer(s):
範囲0 <= x <= 2^l -1の範囲で整数xを計算するには、160ビットの長さのシードSから、次のアルゴリズムfind_integerを使用します。
1. Set v = floor((L-1)/160) and w = L - 160*v.
1. v = floor（（l -1）/160）およびw = l -160*vを設定します。
2. Compute h = SHA-1(s).
2. h = sha-1（s）を計算します。
3. Let h_0 be the bit string obtained by taking the w rightmost bits of h.
3. Hの右端ビットをHの右端ビットを取得することにより、H_0を取得したビット文字列とします。
4. Convert s to an integer z.
4. sを整数zに変換します。
5. For i from 1 to v do:
5. 1からVまでのiの場合：
A. Set z_i = (z+i) mod 2^160.
B. Convert z_i to a bit string s_i.
B. Z_Iを少し文字列S_Iに変換します。
C. Set h_i = SHA-1(s_i).
C. set h_i = sha-1（s_i）。
6. Let h be the string obtained by the concatenation of h_0,...,h_v from left to right.
6. hをh_0、...、h_vの連結によって取得した文字列と左から右にします。
7. Convert h to an integer x and output x.
7. hを整数xに変換し、出力xに変換します。
The following procedure is used to generate an L bit prime p from a 160-bit seed s.
次の手順を使用して、160ビットシードからLビットプライムPを生成します。
1. Set c = find_integer(s).
1. c = find_integerを設定します。
2. Let p be the smallest prime p >= c with p = 3 mod 4.
2. pをp = 3 mod 4の最小プライムp> = cとします。
3. If 2^(L-1) <= p <= 2^L - 1 output p and stop.
3. 2^（l -1）<= p <= 2^l -1出力pの場合、停止します。
4. Set s = update_seed(s) and go to Step 1.
4. s = update_seed（s）を設定し、ステップ1に移動します。
For the generation of the primes p used as base fields GF(p) for the curves defined in this specification (and the corresponding twisted curves), the following values (in hexadecimal representation) have been used as initial seed s:
この仕様（および対応するねじれ曲線）で定義されている曲線のベースフィールドGF（P）として使用されるプライムPの生成については、次の値（16進表現）が初期シードとして使用されています。
Seed_p_160 for brainpoolP160r1:
3243F6A8885A308D313198A2E03707344A409382
Seed_p_192 for brainpoolP192r1:
2299F31D0082EFA98EC4E6C89452821E638D0137
Seed_p_224 for brainpoolP224r1:
7BE5466CF34E90C6CC0AC29B7C97C50DD3F84D5B
Seed_p_256 for brainpoolP256r1:
5B54709179216D5D98979FB1BD1310BA698DFB5A
Seed_p_320 for brainpoolP320r1:
C2FFD72DBD01ADFB7B8E1AFED6A267E96BA7C904
Seed_p_384 for brainpoolP384r1:
5F12C7F9924A19947B3916CF70801F2E2858EFC1
Seed_p_512 for brainpoolP512r1:
6636920D871574E69A458FEA3F4933D7E0D95748
These seeds have been obtained as the first 7 substrings of 160-bit length each of Q = Pi*2^1120, where Pi is the constant 3.14159..., also known as Ludolph's number, i.e.,
これらの種子は、q = pi*2^1120のそれぞれの160ビット長の最初の7つのサブストリングとして得られています。ここで、piは定数3.14159 ...で、Ludolphの数字としても知られています。
Q = Seed_p_160||Seed_p_192||...||Seed_p_512||Remainder, where || denotes concatenation.
Q = Seed_p_160 || Seed_p_192 || ... || Seed_p_512 || lethder、where ||連結を示します。
Using these seeds and the above algorithm the following primes are obtained:
これらの種子と上記のアルゴリズムを使用して、次のプライムが取得されます。
p_160 = 1332297598440044874827085558802491743757193798159
p_192 = 4781668983906166242955001894344923773259119655253013193367
p_224 = 2272162293245435278755253799591092807334073214594499230443 5472941311
P_224 = 2272162293245435278755253799591092807334073214594499230443 5472941311
p_256 = 7688495639704534422080974662900164909303795020094305520373 5601445031516197751
P_256 = 768849563970453442208097466290016490930379502009430520373 560144445031516197751
p_320 = 1763593322239166354161909842446019520889512772719515192772
9604152886408688021498180955014999035278
p_384 = 2165927077011931617306923684233260497979611638701764860008
1618503821089934025961822236561982844534088440708417973331
p_512 = 8948962207650232551656602815159153422162609644098354511344 597187200057010413552439917934304191956942765446530386427345937963 894309923928536070534607816947
p_512 = 8948962207650232551656602815159153422162609644098354511344 597187200057010413552439917934304191956942765446530386427345937963 894309923928536070534607816947
The generation procedure is similar to the procedure given in FIPS PUB 186-2 [FIPS], Appendix 6.4, and ANSI X9.62 [ANSI1], A.3.2.
生成手順は、FIPS Pub 186-2 [FIPS]、付録6.4、およびANSI X9.62 [ANSI1]、A.3.2で与えられた手順に似ています。
For computing an integer x in the range 0 <= x <= 2^(L-1) - 1 from a seed s of 160-bit length, we use the algorithm find_integer_2(s), which slightly differs from the method used for the generation of the primes.
範囲0 <= x <= 2^（l-1）-1の範囲で整数xを計算するには、160ビットの長さのシードSから、アルゴリズムfind_integer_2（s）を使用します。プライムの世代。
1. Set v = floor((L-1)/160) and w = L - 160*v - 1.
1. v = floor（（l -1）/160）およびw = l -160*v -1を設定します。
2. Compute h = SHA-1(s).
2. h = sha-1（s）を計算します。
3. Let h_0 be the bit string obtained by taking the w rightmost bits of h.
3. Hの右端ビットをHの右端ビットを取得することにより、H_0を取得したビット文字列とします。
4. Convert s to an integer z.
4. sを整数zに変換します。
5. For i from 1 to v do:
5. 1からVまでのiの場合：
A. Set z_i = (z+i) mod 2^160.
B. Convert z_i to a bit string s_i.
B. Z_Iを少し文字列S_Iに変換します。
C. Set h_i = SHA-1(s_i).
C. set h_i = sha-1（s_i）。
6. Let h be the string obtained by the concatenation of h_0,...,h_v from left to right.
6. hをh_0、...、h_vの連結によって取得した文字列と左から右にします。
7. Convert h to an integer x and output x.
7. hを整数xに変換し、出力xに変換します。
The following procedure is used to generate the parameters A and B of a suitable elliptic curve over GF(p) and a base point G from a prime p of bit length L and a 160-bit seed s.
以下の手順を使用して、GF（P）上の適切な楕円曲線のパラメーターAとBを生成し、ビット長lのプライムPと160ビットシードsからベースポイントGを生成します。
1. Set h = find_integer_2(s).
1. h = find_integer_2（s）を設定します。
2. Convert h to an integer A.
2. Hを整数Aに変換します。
3. If -3 = A*Z^4 mod p is not solvable, then set s = update_seed(s) and go to Step 1.
3. -3 = a*z^4 mod pが溶媒和でない場合は、s = update_seed（s）を設定し、ステップ1に進みます。
4. Compute one solution Z of -3 = A*Z^4 mod p.
4. -3 = a*z^4 mod pの1つのソリューションzを計算します。
5. Set s = update_seed(s).
5. s = update_seed（s）を設定します。
6. Set B = find_integer_2(s).
6. b = find_integer_2（s）を設定します。
7. If B is a square mod p, then set s = update_seed(s) and go to Step 6.
7. bが正方形のmod pの場合、s = update_seed（s）を設定し、ステップ6に進みます。
8. If 4*A^3 + 27*B^2 = 0 mod p, then set s = update_seed(s) and go to Step 1.
8. 4*a^3 27*b^2 = 0 mod pの場合、s = update_seed（s）を設定し、ステップ1に進みます。
9. Check that the elliptic curve E over GF(p) given by y^2 = x^3 + A*x + B fulfills all security and functional requirements given in Section 3. If not, then set s = update_seed(s) and go to Step 1.
9. y^2 = x^3 a*x bで与えられたGF（p）上の楕円曲線Eがセクション3で与えられたすべてのセキュリティと機能の要件を満たしていることを確認してください。1。
10. Set s = update_seed(s).
10. s = update_seed（s）を設定します。
11. Set k = find_integer_2(s).
11. k = find_integer_2（s）を設定します。
12. Determine the points Q and -Q having the smallest x-coordinate in E(GF(p)). Randomly select one of them as point P.
12. E（gf（p））で最小のx座標を持つ点qと-qを決定します。それらの1つをポイントPとしてランダムに選択します
13. Compute the base point G = k * P.
13. ベースポイントg = k * Pを計算する
14. Output A, B, and G.
14. 出力a、b、およびg。
Note: Of course P could also be used as a base point. However, the small x-coordinate of P could possibly render the curve vulnerable to side-channel attacks.
注：もちろん、Pもベースポイントとして使用できます。ただし、Pの小さなX座標により、曲線がサイドチャネル攻撃に対して脆弱になる可能性があります。
For the generation of curve parameters A and B, and the base points G defined in this specification, the following values (in hexadecimal representation) have been used as initial seed s:
曲線パラメーターaとbの生成、およびこの仕様で定義されたベースポイントgの場合、次の値（16進表現で）が初期シードとして使用されています。
Seed_ab_160 for brainpoolP160r1:
2B7E151628AED2A6ABF7158809CF4F3C762E7160
Seed_ab_192 for brainpoolP192r1:
F38B4DA56A784D9045190CFEF324E7738926CFBE
Seed_ab_224 for brainpoolP224r1:
5F4BF8D8D8C31D763DA06C80ABB1185EB4F7C7B5
Seed_ab_256 for brainpoolP256r1:
757F5958490CFD47D7C19BB42158D9554F7B46BC
Seed_ab_320 for brainpoolP320r1:
ED55C4D79FD5F24D6613C31C3839A2DDF8A9A276
Seed_ab_384 for brainpoolP384r1:
BCFBFA1C877C56284DAB79CD4C2B3293D20E9E5E
Seed_ab_512 for brainpoolP384r1:
AF02AC60ACC93ED874422A52ECB238FEEE5AB6AD
These seeds have been obtained as the first 7 substrings of 160-bit length each of R = floor(e*2^1120), where e denotes the constant 2.71828..., also known as Euler's number, i.e.,
これらの種子は、それぞれr = floor（e*2^1120）の160ビット長の最初の7つのサブストリングとして得られています。ここで、eはeulerの数字としても知られている定数2.71828 ...を示します。
R = Seed_ab_160||Seed_ab_192||...||Seed_ab_512||Remainder, where || denotes concatenation.
r = seed_ab_160 || seed_ab_192 || ... || seed_ab_512 ||残り、ここで||連結を示します。
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