[要約] RFC 7748は、楕円曲線暗号（ECC）の使用に関する技術仕様を定義しています。具体的には、楕円曲線Diffie-Hellman（ECDH）と楕円曲線デジタル署名アルゴリズム（ECDSA）におけるCurve25519とCurve448という2つの楕円曲線の使用を標準化しています。これらの曲線は、高いセキュリティレベルを維持しつつ、効率的な鍵交換や署名生成・検証を可能にします。関連するRFCとしては、RFC 4492（ECCのTLSへの統合）、RFC 8032（EdDSA署名アルゴリズム）、RFC 8446（TLS 1.3）などがあります。
Internet Research Task Force (IRTF) A. Langley
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Category: Informational M. Hamburg
ISSN: 2070-1721 Rambus Cryptography Research
S. Turner
sn3rd
January 2016
Elliptic Curves for Security
セキュリティのための楕円曲線
Abstract
概要
This memo specifies two elliptic curves over prime fields that offer a high level of practical security in cryptographic applications, including Transport Layer Security (TLS). These curves are intended to operate at the ~128-bit and ~224-bit security level, respectively, and are generated deterministically based on a list of required properties.
このメモは、トランスポート層セキュリティ（TLS）を含む暗号アプリケーションにおいて、高レベルの実用的なセキュリティを提供する素体上の2つの楕円曲線を規定します。これらの曲線は、それぞれ〜128ビットおよび〜224ビットのセキュリティレベルで動作することを意図しており、必要な特性のリストに基づいて決定論的に生成されます。
Status of This Memo
本文書の状態
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このドキュメントはInternet Standards Trackの仕様ではありません。情報提供を目的として公開されています。
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この文書は、Internet Research Task Force（IRTF）の成果物です。IRTFは、インターネット関連の研究開発活動の結果を公開しています。これらの結果は、導入に適さない可能性があります。このRFCは、Internet Research Task Force（IRTF）のCrypto Forum Research Group (CFRG)の合意を表しています。IRSGによる公開が承認されたドキュメントは、どのレベルのインターネット標準の候補にもなりません。RFC 5741のセクション2をご覧ください。
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Table of Contents
目次
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Requirements Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Recommended Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.1. Curve25519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2. Curve448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5. The X25519 and X448 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.1. Side-Channel Considerations . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2. Test Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6. Diffie-Hellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.1. Curve25519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.2. Curve448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7. Security Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.1. Normative References . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.2. Informative References . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Appendix A. Deterministic Generation . . . . . . . . . . . . . . 19
A.1. p = 1 mod 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
A.2. p = 3 mod 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A.3. Base Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Authors' Addresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Since the initial standardization of Elliptic Curve Cryptography (ECC [RFC6090]) in [SEC1], there has been significant progress related to both efficiency and security of curves and implementations. Notable examples are algorithms protected against certain side-channel attacks, various "special" prime shapes that allow faster modular arithmetic, and a larger set of curve models from which to choose. There is also concern in the community regarding the generation and potential weaknesses of the curves defined by NIST [NIST].
[SEC1]での楕円曲線暗号（ECC [RFC6090]）の最初の標準化以降、曲線と実装の効率とセキュリティの両方に関連する重要な進歩がありました。注目すべき例としては、特定のサイドチャネル攻撃から保護されたアルゴリズム、より高速な剰余演算を可能にするさまざまな「特別な」形式の素数、および選択可能な曲線モデルのセットの拡大が挙げられます。また、NIST [NIST]によって定義された曲線の生成方法と潜在的な弱点に関して、コミュニティ内に懸念があります。
This memo specifies two elliptic curves ("curve25519" and "curve448") that lend themselves to constant-time implementation and an exception-free scalar multiplication that is resistant to a wide range of side-channel attacks, including timing and cache attacks. They are Montgomery curves (where v^2 = u^3 + A*u^2 + u) and thus have birationally equivalent Edwards versions. Edwards curves support the fastest (currently known) complete formulas for the elliptic-curve group operations, specifically the Edwards curve x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2 for primes p when p = 3 mod 4, and the twisted Edwards curve -x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2 when p = 1 mod 4. The maps to/from the Montgomery curves to their (twisted) Edwards equivalents are also given.
このメモは、定数時間実装に適した2つの楕円曲線（「curve25519」と「curve448」）と、タイミング攻撃やキャッシュ攻撃を含む幅広いサイドチャネル攻撃に耐性のある例外のないスカラー乗算を規定しています。これらはモンゴメリ曲線（v^2 = u^3 + A*u^2 + u）であり、双有理的に同等なエドワーズ形式を持ちます。エドワーズ曲線は、楕円曲線群演算のための（現在知られている中で）最も高速な完全な公式をサポートしています。具体的には、p = 3 mod 4となる素数pに対するエドワーズ曲線 x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2、およびp = 1 mod 4となる場合のツイストエドワーズ曲線 -x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2 です。モンゴメリ曲線とそれに対応する（ツイスト）エドワーズ曲線との間の写像も示されています。
This memo also specifies how these curves can be used with the Diffie-Hellman protocol for key agreement.
このメモは、これらの曲線が鍵合意のためのDiffie-Hellmanプロトコルでどのように使用できるかについても規定します。
The key words "MUST", "MUST NOT", "REQUIRED", "SHALL", "SHALL NOT", "SHOULD", "SHOULD NOT", "RECOMMENDED", "MAY", and "OPTIONAL" in this document are to be interpreted as described in RFC 2119 [RFC2119].
このドキュメントのキーワード「MUST」、「MUST NOT」、「REQUIRED」、「SHALL」、「SHALL NOT」、「SHOULD」、「SHOULD NOT」、「RECOMMENDED」、「MAY」、および「OPTIONAL」は、 RFC 2119 [RFC2119]で説明されているように解釈されます。
Throughout this document, the following notation is used:
このドキュメントでは、次の表記が使用されています。
p Denotes the prime number defining the underlying field.
p 基礎となる体を定義する素数を示します。
GF(p) The finite field with p elements.
GF(p) p個の要素を持つ有限体。
A An element in the finite field GF(p), not equal to -2 or 2.
A 有限体GF(p)の要素。-2または2とは異なります。
d A non-zero element in the finite field GF(p), not equal to 1, in the case of an Edwards curve, or not equal to -1, in the case of a twisted Edwards curve.
d 有限体GF(p)の非ゼロ要素。エドワーズ曲線の場合は1に等しくなく、ツイストエドワーズ曲線の場合は-1に等しくありません。
order The order of the prime-order subgroup.
order 素数位数の部分群の位数。
P A generator point defined over GF(p) of prime order.
P GF(p)上で定義された素数位数の生成点。
U(P) The u-coordinate of the elliptic curve point P on a Montgomery curve.
U(P) モンゴメリ曲線上の楕円曲線点Pのu座標。
V(P) The v-coordinate of the elliptic curve point P on a Montgomery curve.
V(P) モンゴメリ曲線上の楕円曲線点Pのv座標。
X(P) The x-coordinate of the elliptic curve point P on a (twisted) Edwards curve.
X(P) （ツイスト）エドワーズ曲線上の楕円曲線点Pのx座標。
Y(P) The y-coordinate of the elliptic curve point P on a (twisted) Edwards curve.
Y(P) （ツイスト）エドワーズ曲線上の楕円曲線点Pのy座標。
u, v Coordinates on a Montgomery curve.
u, v モンゴメリ曲線上の座標。
x, y Coordinates on a (twisted) Edwards curve.
x, y （ツイスト）エドワーズ曲線上の座標。
For the ~128-bit security level, the prime 2^255 - 19 is recommended for performance on a wide range of architectures. Few primes of the form 2^c-s with s small exist between 2^250 and 2^521, and other choices of coefficient are not as competitive in performance. This prime is congruent to 1 mod 4, and the derivation procedure in Appendix A results in the following Montgomery curve v^2 = u^3 + A*u^2 + u, called "curve25519":
〜128ビットのセキュリティレベルでは、幅広いアーキテクチャでのパフォーマンスのために、素数 2^255 - 19 が推奨されます。2^250 から 2^521 の間には、sが小さい 2^c - s という形式の素数はほとんど存在せず、他の係数の選択肢はパフォーマンスの面で競争力がありません。この素数は 1 mod 4 に合同であり、付録Aの導出手順の結果、「curve25519」と呼ばれる次のモンゴメリ曲線 v^2 = u^3 + A*u^2 + u になります。
p 2^255 - 19
p 2^255 - 19
A 486662
A 486662
order 2^252 + 0x14def9dea2f79cd65812631a5cf5d3ed
cofactor 8
補因子 8
U(P) 9
U(P) 9
V(P) 147816194475895447910205935684099868872646061346164752889648818 37755586237401
V(P) 147816194475895447910205935684099868872646061346164752889648818 37755586237401
The base point is u = 9, v = 1478161944758954479102059356840998688726 4606134616475288964881837755586237401.
基点はu = 9、v = 14781619447589544791020593568409986887264606134616475288964881837755586237401です。
This curve is birationally equivalent to a twisted Edwards curve -x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2, called "edwards25519", where:
この曲線は、ツイストエドワーズ曲線 -x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2 と双有理的に等価であり、「edwards25519」と呼ばれます。ここで、
p 2^255 - 19
p 2^255 - 19
d 370957059346694393431380835087545651895421138798432190163887855330 85940283555
d 370957059346694393431380835087545651895421138798432190163887855330 85940283555
order 2^252 + 0x14def9dea2f79cd65812631a5cf5d3ed
cofactor 8
補因子 8
X(P) 151122213495354007725011514095885315114540126930418572060461132 83949847762202
X(P) 151122213495354007725011514095885315114540126930418572060461132 83949847762202
Y(P) 463168356949264781694283940034751631413079938662562256157830336 03165251855960
Y(P) 463168356949264781694283940034751631413079938662562256157830336 03165251855960
The birational maps are:
双有理写像は次のとおりです。
(u, v) = ((1+y)/(1-y), sqrt(-486664)*u/x)
(x, y) = (sqrt(-486664)*u/v, (u-1)/(u+1))
The Montgomery curve defined here is equal to the one defined in [curve25519], and the equivalent twisted Edwards curve is equal to the one defined in [ed25519].
ここで定義されたモンゴメリ曲線は[curve25519]で定義されたものと等しく、同等なツイストエドワーズ曲線は[ed25519]で定義されたものと等しくなります。
For the ~224-bit security level, the prime 2^448 - 2^224 - 1 is recommended for performance on a wide range of architectures. This prime is congruent to 3 mod 4, and the derivation procedure in Appendix A results in the following Montgomery curve, called "curve448":
〜224ビットのセキュリティレベルでは、幅広いアーキテクチャでのパフォーマンスのために、素数 2^448 - 2^224 - 1 が推奨されます。この素数は 3 mod 4 に合同であり、付録Aの導出手順の結果、「curve448」と呼ばれる次のモンゴメリ曲線になります。
p 2^448 - 2^224 - 1
A 156326
A 156326
order 2^446 -
0x8335dc163bb124b65129c96fde933d8d723a70aadc873d6d54a7bb0d
cofactor 4
補因子 4
U(P) 5
U(P) 5
V(P) 355293926785568175264127502063783334808976399387714271831880898 435169088786967410002932673765864550910142774147268105838985595290 606362
V(P) 355293926785568175264127502063783334808976399387714271831880898 435169088786967410002932673765864550910142774147268105838985595290 606362
This curve is birationally equivalent to the Edwards curve x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2 where:
この曲線は、エドワーズ曲線 x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2 と双有理的に等価です。ここで、
p 2^448 - 2^224 - 1
d 611975850744529176160423220965553317543219696871016626328968936415 087860042636474891785599283666020414768678979989378147065462815545 017
d 611975850744529176160423220965553317543219696871016626328968936415 087860042636474891785599283666020414768678979989378147065462815545 017
order 2^446 -
0x8335dc163bb124b65129c96fde933d8d723a70aadc873d6d54a7bb0d
cofactor 4 X(P) 345397493039729516374008604150537410266655260075183290216406970 281645695073672344430481787759340633221708391583424041788924124567 700732
補因子 4 X(P) 345397493039729516374008604150537410266655260075183290216406970 281645695073672344430481787759340633221708391583424041788924124567 700732
Y(P) 363419362147803445274661903944002267176820680343659030140745099 590306164083365386343198191849338272965044442230921818680526749009 182718
Y(P) 363419362147803445274661903944002267176820680343659030140745099 590306164083365386343198191849338272965044442230921818680526749009 182718
The birational maps are:
双有理写像は次のとおりです。
(u, v) = ((y-1)/(y+1), sqrt(156324)*u/x)
(x, y) = (sqrt(156324)*u/v, (1+u)/(1-u))
Both of those curves are also 4-isogenous to the following Edwards curve x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2, called "edwards448", where:
これらの曲線はどちらも、「edwards448」と呼ばれる次のエドワーズ曲線 x^2 + y^2 = 1 + d*x^2*y^2 と4-同種です。ここで、
p 2^448 - 2^224 - 1
d -39081
d -39081
order 2^446 -
0x8335dc163bb124b65129c96fde933d8d723a70aadc873d6d54a7bb0d
cofactor 4
補因子 4
X(P) 224580040295924300187604334099896036246789641632564134246125461 686950415467406032909029192869357953282578032075146446173674602635 247710
X(P) 224580040295924300187604334099896036246789641632564134246125461 686950415467406032909029192869357953282578032075146446173674602635 247710
Y(P) 298819210078481492676017930443930673437544040154080242095928241 372331506189835876003536878655418784733982303233503462500531545062 832660
Y(P) 298819210078481492676017930443930673437544040154080242095928241 372331506189835876003536878655418784733982303233503462500531545062 832660
The 4-isogeny maps between the Montgomery curve and this Edwards curve are:
モンゴメリ曲線とこのエドワーズ曲線の間の4-同種写像は次のとおりです。
(u, v) = (y^2/x^2, (2 - x^2 - y^2)*y/x^3)
(x, y) = (4*v*(u^2 - 1)/(u^4 - 2*u^2 + 4*v^2 + 1),
-(u^5 - 2*u^3 - 4*u*v^2 + u)/
(u^5 - 2*u^2*v^2 - 2*u^3 - 2*v^2 + u))
The curve edwards448 defined here is also called "Goldilocks" and is equal to the one defined in [goldilocks].
ここで定義されているedwards448曲線は「Goldilocks」とも呼ばれ、[goldilocks]で定義されているものと同じです。
The "X25519" and "X448" functions perform scalar multiplication on the Montgomery form of the above curves. (This is used when implementing Diffie-Hellman.) The functions take a scalar and a u-coordinate as inputs and produce a u-coordinate as output. Although the functions work internally with integers, the inputs and outputs are 32-byte strings (for X25519) or 56-byte strings (for X448) and this specification defines their encoding.
「X25519」および「X448」関数は、上記の曲線のモンゴメリ形式でスカラー倍算を実行します。（これはDiffie-Hellmanを実装するときに使用されます。）関数は、スカラーとu座標を入力として取り、u座標を出力として生成します。関数は内部で整数を処理しますが、入力と出力は32バイトのバイト列（X25519の場合）または56バイトのバイト列（X448の場合）であり、この仕様はそれらのエンコーディングを定義します。
The u-coordinates are elements of the underlying field GF(2^255 - 19) or GF(2^448 - 2^224 - 1) and are encoded as an array of bytes, u, in little-endian order such that u[0] + 256*u[1] + 256^2*u[2] + ... + 256^(n-1)*u[n-1] is congruent to the value modulo p and u[n-1] is minimal. When receiving such an array, implementations of X25519 (but not X448) MUST mask the most significant bit in the final byte. This is done to preserve compatibility with point formats that reserve the sign bit for use in other protocols and to increase resistance to implementation fingerprinting.
u座標は、基礎体 GF(2^255 - 19) または GF(2^448 - 2^224 - 1) の要素であり、リトルエンディアン順のバイト配列 u としてエンコードされます。つまり、u[0] + 256*u[1] + 256^2*u[2] + ... + 256^(n-1)*u[n-1] は p を法とする値に合同であり、u[n-1] は最小となります。そのような配列を受け取るとき、X25519（X448ではない）の実装は、最終バイトの最上位ビットをマスクしなければなりません（MUST）。これは、他のプロトコルで使用するために符号ビットを予約する点フォーマットとの互換性を維持し、実装のフィンガープリントへの耐性を高めるために行われます。
Implementations MUST accept non-canonical values and process them as if they had been reduced modulo the field prime. The non-canonical values are 2^255 - 19 through 2^255 - 1 for X25519 and 2^448 - 2^224 - 1 through 2^448 - 1 for X448.
実装は、非正規値を受け入れて、体の素数を法として簡約されたかのように処理しなければなりません（MUST）。非正規値は、X25519の場合は 2^255 - 19 から 2^255 - 1、X448の場合は 2^448 - 2^224 - 1 から 2^448 - 1 です。
The following functions implement this in Python, although the Python code is not intended to be performant nor side-channel free. Here, the "bits" parameter should be set to 255 for X25519 and 448 for X448:
次の関数はこれをPythonで実装しますが、Pythonコードはパフォーマンスやサイドチャネル耐性を意図していません。ここで、「bits」パラメータは、X25519の場合は255、X448の場合は448に設定する必要があります。
<CODE BEGINS>
def decodeLittleEndian(b, bits):
return sum([b[i] << 8*i for i in range((bits+7)/8)])
def decodeUCoordinate(u, bits):
u_list = [ord(b) for b in u]
# Ignore any unused bits.
if bits % 8:
u_list[-1] &= (1<<(bits%8))-1
return decodeLittleEndian(u_list, bits)
def encodeUCoordinate(u, bits): u = u % p return ''.join([chr((u >> 8*i) & 0xff) for i in range((bits+7)/8)]) <CODE ENDS> Scalars are assumed to be randomly generated bytes. For X25519, in order to decode 32 random bytes as an integer scalar, set the three least significant bits of the first byte and the most significant bit of the last to zero, set the second most significant bit of the last byte to 1 and, finally, decode as little-endian. This means that the resulting integer is of the form 2^254 plus eight times a value between 0 and 2^251 - 1 (inclusive). Likewise, for X448, set the two least significant bits of the first byte to 0, and the most significant bit of the last byte to 1. This means that the resulting integer is of the form 2^447 plus four times a value between 0 and 2^445 - 1 (inclusive).
def encodeUCoordinate(u, bits): u = u % p return ''.join([chr((u >> 8*i) & 0xff) for i in range((bits+7)/8)]) <CODE ENDS> スカラーはランダムに生成されたバイトと見なされます。X25519の場合、32バイトのランダムなバイト列を整数スカラーとしてデコードするには、最初のバイトの最下位3ビットと最後のバイトの最上位ビットをゼロに設定し、最後のバイトの2番目の最上位ビットを1に設定し、最後にリトルエンディアンとしてデコードします。つまり、結果の整数は、2^254 に 0 から 2^251 - 1（両端を含む）の間の値の8倍を加えた形式になります。同様に、X448の場合、最初のバイトの最下位2ビットを0に設定し、最後のバイトの最上位ビットを1に設定します。これは、結果の整数が 2^447 に 0 から 2^445 - 1（両端を含む）の間の値の4倍を加えた形式であることを意味します。
<CODE BEGINS>
def decodeScalar25519(k):
k_list = [ord(b) for b in k]
k_list[0] &= 248
k_list[31] &= 127
k_list[31] |= 64
return decodeLittleEndian(k_list, 255)
def decodeScalar448(k):
k_list = [ord(b) for b in k]
k_list[0] &= 252
k_list[55] |= 128
return decodeLittleEndian(k_list, 448)
<CODE ENDS>
To implement the X25519(k, u) and X448(k, u) functions (where k is the scalar and u is the u-coordinate), first decode k and u and then perform the following procedure, which is taken from [curve25519] and based on formulas from [montgomery]. All calculations are performed in GF(p), i.e., they are performed modulo p. The constant a24 is (486662 - 2) / 4 = 121665 for curve25519/X25519 and (156326 - 2) / 4 = 39081 for curve448/X448.
X25519(k, u) 関数と X448(k, u) 関数（kはスカラー、uはu座標）を実装するには、まずkとuをデコードしてから、次の手順を実行します。これは[curve25519]から引用され、[montgomery]の式に基づいています。すべての計算はGF(p)で実行されます。つまり、pを法として実行されます。定数a24は、curve25519/X25519の場合は (486662 - 2) / 4 = 121665、curve448/X448の場合は (156326 - 2) / 4 = 39081 です。
x_1 = u x_2 = 1 z_2 = 0 x_3 = u z_3 = 1 swap = 0
x_1 = u x_2 = 1 z_2 = 0 x_3 = u z_3 = 1 swap = 0
For t = bits-1 down to 0:
k_t = (k >> t) & 1
swap ^= k_t
// Conditional swap; see text below.
(x_2, x_3) = cswap(swap, x_2, x_3)
(z_2, z_3) = cswap(swap, z_2, z_3)
swap = k_t
A = x_2 + z_2
AA = A^2
B = x_2 - z_2
BB = B^2
E = AA - BB
C = x_3 + z_3
D = x_3 - z_3
DA = D * A
CB = C * B
x_3 = (DA + CB)^2
z_3 = x_1 * (DA - CB)^2
x_2 = AA * BB
z_2 = E * (AA + a24 * E)
// Conditional swap; see text below.
(x_2, x_3) = cswap(swap, x_2, x_3)
(z_2, z_3) = cswap(swap, z_2, z_3)
Return x_2 * (z_2^(p - 2))
(Note that these formulas are slightly different from Montgomery's original paper. Implementations are free to use any correct formulas.)
（これらの式は、モンゴメリーの元の論文とは少し異なります。実装では、正しい式を自由に使用できます。）
Finally, encode the resulting value as 32 or 56 bytes in little-endian order. For X25519, the unused, most significant bit MUST be zero.
最後に、結果の値を32バイトまたは56バイトとしてリトルエンディアン順にエンコードします。 X25519の場合、未使用の最上位ビットはゼロでなければなりません。
The cswap function SHOULD be implemented in constant time (i.e., independent of the swap argument). For example, this can be done as follows:
cswap関数は定数時間で実装すべきです（SHOULD）（つまり、swap引数とは無関係です）。たとえば、これは次のように実行できます。
cswap(swap, x_2, x_3): dummy = mask(swap) AND (x_2 XOR x_3) x_2 = x_2 XOR dummy x_3 = x_3 XOR dummy Return (x_2, x_3)
cswap(swap, x_2, x_3): dummy = mask(swap) AND (x_2 XOR x_3) x_2 = x_2 XOR dummy x_3 = x_3 XOR dummy Return (x_2, x_3)
Where mask(swap) is the all-1 or all-0 word of the same length as x_2 and x_3, computed, e.g., as mask(swap) = 0 - swap.
ここで、mask(swap)は、x_2およびx_3と同じ長さのall-1またはall-0ワードであり、たとえば、mask(swap) = 0-swapとして計算されます。
X25519 and X448 are designed so that fast, constant-time implementations are easier to produce. The procedure above ensures that the same sequence of field operations is performed for all values of the secret key, thus eliminating a common source of side-channel leakage. However, this alone does not prevent all side-channels by itself. It is important that the pattern of memory accesses and jumps not depend on the values of any of the bits of k. It is also important that the arithmetic used not leak information about the integers modulo p, for example by having b*c be distinguishable from c*c. On some architectures, even primitive machine instructions, such as single-word division, can have variable timing based on their inputs.
X25519とX448は、高速な定数時間実装を容易に作成できるように設計されています。上記の手順により、秘密鍵のすべての値に対して同じ体演算シーケンスが確実に実行され、サイドチャネルリークの一般的な原因が排除されます。ただし、これだけではすべてのサイドチャネルが防止されるわけではありません。メモリアクセスとジャンプのパターンがkのどのビットの値にも依存しないことが重要です。また、たとえば、b*c と c*c が区別可能であることなどによって、pを法とする整数に関する情報をリークしないような算術演算を使用することも重要です。一部のアーキテクチャでは、1ワード除算などのプリミティブなマシン命令でも、その入力に基づいて可変のタイミングを持つことがあります。
Side-channel attacks are an active research area that still sees significant, new results. Implementors are advised to follow this research closely.
サイドチャネル攻撃は活発な研究分野であり、依然として重要な新しい結果が出ています。実装者は、この調査を注意深くフォローすることをお勧めします。
Two types of tests are provided. The first is a pair of test vectors for each function that consist of expected outputs for the given inputs. The inputs are generally given as 64 or 112 hexadecimal digits that need to be decoded as 32 or 56 binary bytes before processing.
2種類のテストが用意されています。1つ目は、特定の入力に対して期待される出力で構成される、各関数のテストベクトルのペアです。入力は通常、64または112桁の16進数として与えられ、処理前に32または56バイトのバイナリとしてデコードする必要があります。
X25519:
X25519:
Input scalar:
a546e36bf0527c9d3b16154b82465edd62144c0ac1fc5a18506a2244ba449ac4
Input scalar as a number (base 10):
31029842492115040904895560451863089656
472772604678260265531221036453811406496
Input u-coordinate:
e6db6867583030db3594c1a424b15f7c726624ec26b3353b10a903a6d0ab1c4c
Input u-coordinate as a number (base 10):
34426434033919594451155107781188821651
316167215306631574996226621102155684838
Output u-coordinate:
c3da55379de9c6908e94ea4df28d084f32eccf03491c71f754b4075577a28552
Input scalar:
4b66e9d4d1b4673c5ad22691957d6af5c11b6421e0ea01d42ca4169e7918ba0d
Input scalar as a number (base 10):
35156891815674817266734212754503633747
128614016119564763269015315466259359304
Input u-coordinate:
e5210f12786811d3f4b7959d0538ae2c31dbe7106fc03c3efc4cd549c715a493
Input u-coordinate as a number (base 10):
88838573511839298940907593866106493194
17338800022198945255395922347792736741
Output u-coordinate:
95cbde9476e8907d7aade45cb4b873f88b595a68799fa152e6f8f7647aac7957
X448:
X448:
Input scalar:
3d262fddf9ec8e88495266fea19a34d28882acef045104d0d1aae121
700a779c984c24f8cdd78fbff44943eba368f54b29259a4f1c600ad3
Input scalar as a number (base 10):
599189175373896402783756016145213256157230856
085026129926891459468622403380588640249457727
683869421921443004045221642549886377526240828
Input u-coordinate:
06fce640fa3487bfda5f6cf2d5263f8aad88334cbd07437f020f08f9
814dc031ddbdc38c19c6da2583fa5429db94ada18aa7a7fb4ef8a086
Input u-coordinate as a number (base 10):
382239910814107330116229961234899377031416365
240571325148346555922438025162094455820962429
142971339584360034337310079791515452463053830
Output u-coordinate:
ce3e4ff95a60dc6697da1db1d85e6afbdf79b50a2412d7546d5f239f
e14fbaadeb445fc66a01b0779d98223961111e21766282f73dd96b6f
Input scalar:
203d494428b8399352665ddca42f9de8fef600908e0d461cb021f8c5
38345dd77c3e4806e25f46d3315c44e0a5b4371282dd2c8d5be3095f
Input scalar as a number (base 10):
633254335906970592779259481534862372382525155
252028961056404001332122152890562527156973881
968934311400345568203929409663925541994577184
Input u-coordinate:
0fbcc2f993cd56d3305b0b7d9e55d4c1a8fb5dbb52f8e9a1e9b6201b
165d015894e56c4d3570bee52fe205e28a78b91cdfbde71ce8d157db
Input u-coordinate as a number (base 10):
622761797758325444462922068431234180649590390
024811299761625153767228042600197997696167956
134770744996690267634159427999832340166786063
Output u-coordinate:
884a02576239ff7a2f2f63b2db6a9ff37047ac13568e1e30fe63c4a7
ad1b3ee3a5700df34321d62077e63633c575c1c954514e99da7c179d
The second type of test vector consists of the result of calling the function in question a specified number of times. Initially, set k and u to be the following values:
2番目のタイプのテストベクトルは、問題の関数を指定された回数呼び出した結果で構成されます。最初に、kとuを次の値に設定します。
For X25519:
0900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
For X448:
05000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
For each iteration, set k to be the result of calling the function and u to be the old value of k. The final result is the value left in k.
反復ごとに、kを関数の呼び出しの結果に設定し、uをkの古い値に設定します。最終結果は、kに残った値です。
X25519:
X25519:
After one iteration:
422c8e7a6227d7bca1350b3e2bb7279f7897b87bb6854b783c60e80311ae3079
After 1,000 iterations:
684cf59ba83309552800ef566f2f4d3c1c3887c49360e3875f2eb94d99532c51
After 1,000,000 iterations:
7c3911e0ab2586fd864497297e575e6f3bc601c0883c30df5f4dd2d24f665424
X448:
X448:
After one iteration:
3f482c8a9f19b01e6c46ee9711d9dc14fd4bf67af30765c2ae2b846a
4d23a8cd0db897086239492caf350b51f833868b9bc2b3bca9cf4113
After 1,000 iterations:
aa3b4749d55b9daf1e5b00288826c467274ce3ebbdd5c17b975e09d4
af6c67cf10d087202db88286e2b79fceea3ec353ef54faa26e219f38
After 1,000,000 iterations:
077f453681caca3693198420bbe515cae0002472519b3e67661a7e89
cab94695c8f4bcd66e61b9b9c946da8d524de3d69bd9d9d66b997e37
The X25519 function can be used in an Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) protocol as follows:
X25519関数は、Elliptic Curve Diffie-Hellman（ECDH）プロトコルで次のように使用できます。
Alice generates 32 random bytes in a[0] to a[31] and transmits K_A = X25519(a, 9) to Bob, where 9 is the u-coordinate of the base point and is encoded as a byte with value 9, followed by 31 zero bytes.
Aliceは、a[0]〜a[31]に32バイトのランダムな値を生成し、K_A = X25519(a, 9) をBobに送信します。ここで、9は基点のu座標であり、値9のバイトとしてエンコードされ、その後に31個のゼロバイトが続きます。
Bob similarly generates 32 random bytes in b[0] to b[31], computes K_B = X25519(b, 9), and transmits it to Alice.
Bobは同様にb[0]からb[31]に32バイトのランダムな値を生成し、K_B = X25519(b, 9) を計算して、それをAliceに送信します。
Using their generated values and the received input, Alice computes X25519(a, K_B) and Bob computes X25519(b, K_A).
生成された値と受信した入力を使用して、AliceはX25519(a, K_B)を計算し、BobはX25519(b, K_A)を計算します。
Both now share K = X25519(a, X25519(b, 9)) = X25519(b, X25519(a, 9)) as a shared secret. Both MAY check, without leaking extra information about the value of K, whether K is the all-zero value and abort if so (see below). Alice and Bob can then use a key-derivation function that includes K, K_A, and K_B to derive a symmetric key.
両者は共有秘密として K = X25519(a, X25519(b, 9)) = X25519(b, X25519(a, 9)) を共有するようになりました。両者は、Kの値に関する追加情報をリークせずに、Kがすべてゼロの値であるかどうかをチェックし、そうである場合は中止してもかまいません（MAY）（以下を参照）。次に、AliceとBobは、K、K_A、およびK_Bを含む鍵導出関数を使用して、共通鍵を導出できます。
The check for the all-zero value results from the fact that the X25519 function produces that value if it operates on an input corresponding to a point with small order, where the order divides the cofactor of the curve (see Section 7). The check may be performed by ORing all the bytes together and checking whether the result is zero, as this eliminates standard side-channels in software implementations.
すべてがゼロの値のチェックは、X25519関数が位数が小さい点に対応する入力に対して作用すると、その値が生成されるという事実に基づいています。ここで、その位数は曲線の補因子の約数です（セクション7を参照）。このチェックは、すべてのバイトをOR演算し、結果がゼロかどうかをチェックすることで実行できます。これにより、ソフトウェア実装での標準的なサイドチャネルが排除されます。
Test vector:
テストベクトル：
Alice's private key, a:
77076d0a7318a57d3c16c17251b26645df4c2f87ebc0992ab177fba51db92c2a
Alice's public key, X25519(a, 9):
8520f0098930a754748b7ddcb43ef75a0dbf3a0d26381af4eba4a98eaa9b4e6a
Bob's private key, b:
5dab087e624a8a4b79e17f8b83800ee66f3bb1292618b6fd1c2f8b27ff88e0eb
Bob's public key, X25519(b, 9):
de9edb7d7b7dc1b4d35b61c2ece435373f8343c85b78674dadfc7e146f882b4f
Their shared secret, K:
4a5d9d5ba4ce2de1728e3bf480350f25e07e21c947d19e3376f09b3c1e161742
The X448 function can be used in an ECDH protocol very much like the X25519 function.
X448関数は、X25519関数と非常によく似たECDHプロトコルで使用できます。
If X448 is to be used, the only differences are that Alice and Bob generate 56 random bytes (not 32) and calculate K_A = X448(a, 5) or K_B = X448(b, 5), where 5 is the u-coordinate of the base point and is encoded as a byte with value 5, followed by 55 zero bytes.
X448を使用する場合、唯一の違いは、AliceとBobが（32ではなく）56バイトのランダムな値を生成し、K_A = X448(a, 5) または K_B = X448(b, 5) を計算することです。ここで、5は基点のu座標であり、値5のバイトとしてエンコードされ、その後に55個のゼロバイトが続きます。
As with X25519, both sides MAY check, without leaking extra information about the value of K, whether the resulting shared K is the all-zero value and abort if so.
X25519と同様に、Kの値に関する追加情報を漏らさずに、結果の共有Kがすべてゼロの値であるかどうかを両側でチェックし、そうであれば中止してもかまいません（MAY）。
Test vector:
テストベクトル：
Alice's private key, a:
9a8f4925d1519f5775cf46b04b5800d4ee9ee8bae8bc5565d498c28d
d9c9baf574a9419744897391006382a6f127ab1d9ac2d8c0a598726b
Alice's public key, X448(a, 5):
9b08f7cc31b7e3e67d22d5aea121074a273bd2b83de09c63faa73d2c
22c5d9bbc836647241d953d40c5b12da88120d53177f80e532c41fa0
Bob's private key, b:
1c306a7ac2a0e2e0990b294470cba339e6453772b075811d8fad0d1d
6927c120bb5ee8972b0d3e21374c9c921b09d1b0366f10b65173992d
Bob's public key, X448(b, 5):
3eb7a829b0cd20f5bcfc0b599b6feccf6da4627107bdb0d4f345b430
27d8b972fc3e34fb4232a13ca706dcb57aec3dae07bdc1c67bf33609
Their shared secret, K:
07fff4181ac6cc95ec1c16a94a0f74d12da232ce40a77552281d282b
b60c0b56fd2464c335543936521c24403085d59a449a5037514a879d
The security level (i.e., the number of "operations" needed for a brute-force attack on a primitive) of curve25519 is slightly under the standard 128-bit level. This is acceptable because the standard security levels are primarily driven by much simpler, symmetric primitives where the security level naturally falls on a power of two. For asymmetric primitives, rigidly adhering to a power-of-two security level would require compromises in other parts of the design, which we reject. Additionally, comparing security levels between types of primitives can be misleading under common threat models where multiple targets can be attacked concurrently [bruteforce].
curve25519のセキュリティレベル（つまり、プリミティブに対する総当たり攻撃に必要な「操作」の数）は、標準の128ビットレベルをわずかに下回っています。標準のセキュリティレベルは主に、セキュリティレベルが自然に2のべき乗になる、はるかに単純な共通鍵プリミティブによって主導されているため、これは許容範囲です。公開鍵プリミティブの場合、2のべき乗のセキュリティレベルに厳密に準拠するには、設計の他の部分での妥協が必要になるため、我々はこれを拒否します。さらに、プリミティブのタイプ間でセキュリティレベルを比較することは、複数のターゲットが同時に攻撃される可能性がある一般的な脅威モデルの下では誤解を招く可能性があります[bruteforce]。
The ~224-bit security level of curve448 is a trade-off between performance and paranoia. Large quantum computers, if ever created, will break both curve25519 and curve448, and reasonable projections of the abilities of classical computers conclude that curve25519 is perfectly safe. However, some designs have relaxed performance requirements and wish to hedge against some amount of analytical advance against elliptic curves and thus curve448 is also provided.
curve448の〜224ビットのセキュリティレベルは、パフォーマンスとパラノイア（極度の慎重さ）の間のトレードオフです。大規模な量子コンピューターは、もし実現すれば、curve25519とcurve448の両方を破るでしょう。また、古典的なコンピューターの能力に関する合理的な予測では、curve25519は完全に安全であると結論付けられています。ただし、一部の設計ではパフォーマンス要件が緩和されており、楕円曲線に対する分析手法がある程度進歩することに備えたいため、curve448も提供されています。
Protocol designers using Diffie-Hellman over the curves defined in this document must not assume "contributory behaviour". Specially, contributory behaviour means that both parties' private keys contribute to the resulting shared key. Since curve25519 and curve448 have cofactors of 8 and 4 (respectively), an input point of small order will eliminate any contribution from the other party's private key. This situation can be detected by checking for the all-zero output, which implementations MAY do, as specified in Section 6. However, a large number of existing implementations do not do this.
このドキュメントで定義されている曲線上でDiffie-Hellmanを使用するプロトコル設計者は、「寄与性（contributory behaviour）」を想定してはなりません。具体的には、寄与性とは、両方の当事者の秘密鍵が結果の共有鍵に寄与することを意味します。curve25519とcurve448の補因子は（それぞれ）8と4であるため、位数の小さい入力点では、相手の秘密鍵からの寄与が排除されます。この状況は、セクション6で規定されているように、すべてゼロの出力をチェックすることで検出できます（実装はこれを行ってもよい（MAY））。ただし、既存の実装の多くはこれを行っていません。
Designers using these curves should be aware that for each public key, there are several publicly computable public keys that are equivalent to it, i.e., they produce the same shared secrets. Thus using a public key as an identifier and knowledge of a shared secret as proof of ownership (without including the public keys in the key derivation) might lead to subtle vulnerabilities.
これらの曲線を使用する設計者は、各公開鍵に対して、それと等価な（つまり、同じ共有秘密を生成する）公に計算可能な公開鍵がいくつか存在することに注意する必要があります。したがって、公開鍵を識別子として使用し、共有秘密の知識を所有権の証明として使用すると（公開鍵を鍵導出に含めない場合）、微妙な脆弱性につながる可能性があります。
Designers should also be aware that implementations of these curves might not use the Montgomery ladder as specified in this document, but could use generic, elliptic-curve libraries instead. These implementations could reject points on the twist and could reject non-minimal field elements. While not recommended, such implementations will interoperate with the Montgomery ladder specified here but may be trivially distinguishable from it. For example, sending a non-canonical value or a point on the twist may cause such implementations to produce an observable error while an implementation that follows the design in this text would successfully produce a shared key.
設計者は、これらの曲線の実装が、このドキュメントで規定されているモンゴメリラダーを使用せず、代わりに一般的な楕円曲線ライブラリを使用する可能性があることにも注意すべきです。これらの実装は、ツイスト上の点を拒否したり、最小でない体要素を拒否したりする可能性があります。推奨はされませんが、そのような実装は、ここで規定されたモンゴメリラダーと相互運用可能ですが、容易に区別できる場合があります。たとえば、非正規値またはツイスト上の点を送信すると、このような実装では観察可能なエラーが発生する可能性がありますが、このテキストの設計に従う実装では共有鍵が正常に生成されます。
[RFC2119] Bradner, S., "Key words for use in RFCs to Indicate Requirement Levels", BCP 14, RFC 2119, DOI 10.17487/RFC2119, March 1997, <http://www.rfc-editor.org/info/rfc2119>.
[RFC2119] Bradner, S., "Key words for use in RFCs to Indicate Requirement Levels", BCP 14, RFC 2119, DOI 10.17487/RFC2119, March 1997, <http://www.rfc-editor.org/info/rfc2119>.
[brainpool] ECC Brainpool, "ECC Brainpool Standard Curves and Curve Generation", October 2005, <http://www.ecc-brainpool.org/download/ Domain-parameters.pdf>.
[brainpool] ECC Brainpool, "ECC Brainpool Standard Curves and Curve Generation", October 2005, <http://www.ecc-brainpool.org/download/Domain-parameters.pdf>.
[bruteforce] Bernstein, D., "Understanding brute force", April 2005, <http://cr.yp.to/snuffle/bruteforce-20050425.pdf>.
[bruteforce] Bernstein, D., "Understanding brute force", April 2005, <http://cr.yp.to/snuffle/bruteforce-20050425.pdf>.
[curve25519] Bernstein, D., "Curve25519: new Diffie-Hellman speed records", 2006, <http://www.iacr.org/cryptodb/archive/2006/ PKC/3351/3351.pdf>.
[curve25519] Bernstein, D., "Curve25519: new Diffie-Hellman speed records", 2006, <http://www.iacr.org/cryptodb/archive/2006/PKC/3351/3351.pdf>.
[ed25519] Bernstein, D., Duif, N., Lange, T., Schwabe, P., and B. Yang, "High-Speed High-Security Signatures", 2011, <http://link.springer.com/ chapter/10.1007/978-3-642-23951-9_9>.
[ed25519] Bernstein, D., Duif, N., Lange, T., Schwabe, P., and B. Yang, "High-Speed High-Security Signatures", 2011, <http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-23951-9_9>.
[goldilocks] Hamburg, M., "Ed448-Goldilocks, a new elliptic curve", 2015, <http://eprint.iacr.org/2015/625.pdf>.
[goldilocks] Hamburg, M., "Ed448-Goldilocks, a new elliptic curve", 2015, <http://eprint.iacr.org/2015/625.pdf>.
[montgomery] Montgomery, P., "Speeding the Pollard and Elliptic Curve Methods of Factorization", January 1987, <http://www.ams.org/journals/mcom/1987-48-177/ S0025-5718-1987-0866113-7/S0025-5718-1987-0866113-7.pdf>.
[montgomery] Montgomery, P., "Speeding the Pollard and Elliptic Curve Methods of Factorization", January 1987, <http://www.ams.org/journals/mcom/1987-48-177/S0025-5718-1987-0866113-7/S0025-5718-1987-0866113-7.pdf>.
[NIST] National Institute of Standards, "Recommended Elliptic Curves for Federal Government Use", July 1999, <http://csrc.nist.gov/groups/ST/toolkit/documents/dss/ NISTReCur.pdf>.
[NIST] National Institute of Standards, "Recommended Elliptic Curves for Federal Government Use", July 1999, <http://csrc.nist.gov/groups/ST/toolkit/documents/dss/NISTReCur.pdf>.
[reducing] Menezes, A., Okamoto, T., and S. Vanstone, "Reducing elliptic curve logarithms to logarithms in a finite field", DOI 10.1109/18.259647, 1993, <http://ieeexplore.ieee.org/xpl/ articleDetails.jsp?arnumber=259647>.
[reducing] Menezes, A., Okamoto, T., and S. Vanstone, "Reducing elliptic curve logarithms to logarithms in a finite field", DOI 10.1109/18.259647, 1993, <http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=259647>.
[RFC6090] McGrew, D., Igoe, K., and M. Salter, "Fundamental Elliptic Curve Cryptography Algorithms", RFC 6090, DOI 10.17487/RFC6090, February 2011, <http://www.rfc-editor.org/info/rfc6090>.
[RFC6090] McGrew, D., Igoe, K., and M. Salter, "Fundamental Elliptic Curve Cryptography Algorithms", RFC 6090, DOI 10.17487/RFC6090, February 2011, <http://www.rfc-editor.org/info/rfc6090>.
[safecurves] Bernstein, D. and T. Lange, "SafeCurves: choosing safe curves for elliptic-curve cryptography", Oct 2013, <http://safecurves.cr.yp.to/>.
[safecurves] Bernstein, D. and T. Lange, "SafeCurves: choosing safe curves for elliptic-curve cryptography", Oct 2013, <http://safecurves.cr.yp.to/>.
[satoh] Satoh, T. and K. Araki, "Fermat quotients and the polynomial time discrete log algorithm for anomalous elliptic curves", 1998.
[satoh] Satoh, T. and K. Araki, "Fermat quotients and the polynomial time discrete log algorithm for anomalous elliptic curves", 1998.
[SEC1] Certicom Research, "SEC 1: Elliptic Curve Cryptography", September 2000, <http://www.secg.org/sec1-v2.pdf>.
[SEC1] Certicom Research, "SEC 1: Elliptic Curve Cryptography", September 2000, <http://www.secg.org/sec1-v2.pdf>.
[semaev] Semaev, I., "Evaluation of discrete logarithms on some elliptic curves", 1998, <http://www.ams.org/journals/ mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00887-4/ S0025-5718-98-00887-4.pdf>.
[semaev] Semaev, I., "Evaluation of discrete logarithms on some elliptic curves", 1998, <http://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00887-4/S0025-5718-98-00887-4.pdf>.
[smart] Smart, N., "The Discrete Logarithm Problem on Elliptic Curves of Trace One", 1999, <http://www.hpl.hp.com/techreports/97/HPL-97-128.pdf>.
[smart] Smart, N., "The Discrete Logarithm Problem on Elliptic Curves of Trace One", 1999, <http://www.hpl.hp.com/techreports/97/HPL-97-128.pdf>.
This section specifies the procedure that was used to generate the above curves; specifically, it defines how to generate the parameter A of the Montgomery curve y^2 = x^3 + A*x^2 + x. This procedure is intended to be as objective as can reasonably be achieved so that it's clear that no untoward considerations influenced the choice of curve. The input to this process is p, the prime that defines the underlying field. The size of p determines the amount of work needed to compute a discrete logarithm in the elliptic curve group, and choosing a precise p depends on many implementation concerns. The performance of the curve will be dominated by operations in GF(p), so carefully choosing a value that allows for easy reductions on the intended architecture is critical. This document does not attempt to articulate all these considerations.
このセクションでは、上記の曲線を生成するために使用された手順を規定します。具体的には、モンゴメリ曲線 y^2 = x^3 + A*x^2 + x のパラメータAの生成方法を定義します。この手順は、合理的に達成できる限り客観的であることを意図しており、曲線の選択に不適切な考慮が影響を与えなかったことを明確にするためのものです。このプロセスへの入力は、基礎体を定義する素数 p です。p のサイズは、楕円曲線群の離散対数を計算するために必要な作業量を決定し、正確な p の選択は、多くの実装上の懸念事項に依存します。曲線のパフォーマンスは GF(p) の演算に支配されるため、意図したアーキテクチャ上で容易に簡約できる値を慎重に選択することが重要です。このドキュメントでは、これらすべての考慮事項を明確に説明することはしません。
The value (A-2)/4 is used in several of the elliptic curve point arithmetic formulas. For simplicity and performance reasons, it is beneficial to make this constant small, i.e., to choose A so that (A-2) is a small integer that is divisible by four.
値 (A-2)/4 は、いくつかの楕円曲線点演算式で使用されています。単純化とパフォーマンス上の理由から、この定数を小さくすること、つまりAを選択して (A-2) が4で割り切れる小さな整数になるようにすることが有益です。
For each curve at a specific security level:
特定のセキュリティレベルの各曲線について：
1. The trace of Frobenius MUST NOT be in {0, 1} in order to rule out the attacks described in [smart], [satoh], and [semaev], as in [brainpool] and [safecurves].
1. [brainpool]や[safecurves]のように、[smart]、[satoh]、[semaev]で説明されている攻撃を排除するために、フロベニウス写像のトレースは {0, 1} であってはなりません（MUST NOT）。
2. MOV Degree [reducing]: the embedding degree MUST be greater than (order - 1) / 100, as in [brainpool] and [safecurves].
2. MOV次数 [reducing]：埋め込み次数は、[brainpool]や[safecurves]のように、(order - 1) / 100 より大きくなければなりません（MUST）。
3. CM Discriminant: discriminant D MUST be greater than 2^100, as in [safecurves].
3. CM判別式：[safecurves]のように、判別式Dは 2^100 より大きくなければなりません（MUST）。
For primes congruent to 1 mod 4, the minimal cofactors of the curve and its twist are either {4, 8} or {8, 4}. We choose a curve with the latter cofactors so that any algorithms that take the cofactor into account don't have to worry about checking for points on the twist, because the twist cofactor will be the smaller of the two.
1 mod 4 に合同な素数の場合、曲線とそのツイストの最小補因子は {4, 8} または {8, 4} のいずれかです。我々は後者の補因子を持つ曲線を選択します。これにより、補因子を考慮に入れるアルゴリズムは、ツイスト上の点のチェックについて心配する必要がなくなります。なぜなら、ツイストの補因子は2つのうち小さい方になるからです。
To generate the Montgomery curve, we find the minimal, positive A value such that A > 2 and (A-2) is divisible by four and where the cofactors are as desired. The find1Mod4 function in the following Sage script returns this value given p:
モンゴメリ曲線を生成するために、A > 2 かつ (A-2) が4で割り切れ、補因子が希望どおりであるような、最小の正のAの値を見つけます。次のSageスクリプトの find1Mod4 関数は、p を指定するとこの値を返します。
<CODE BEGINS>
def findCurve(prime, curveCofactor, twistCofactor):
F = GF(prime)
for A in xrange(3, int(1e9)):
if (A-2) % 4 != 0:
continue
try: E = EllipticCurve(F, [0, A, 0, 1, 0]) except: continue
try: E = EllipticCurve(F, [0, A, 0, 1, 0]) except: continue
groupOrder = E.order()
twistOrder = 2*(prime+1)-groupOrder
if (groupOrder % curveCofactor == 0 and
is_prime(groupOrder // curveCofactor) and
twistOrder % twistCofactor == 0 and
is_prime(twistOrder // twistCofactor)):
return A
def find1Mod4(prime):
assert((prime % 4) == 1)
return findCurve(prime, 8, 4)
<CODE ENDS>
Generating a curve where p = 1 mod 4
p = 1 mod 4である曲線の生成
For a prime congruent to 3 mod 4, both the curve and twist cofactors can be 4, and this is minimal. Thus, we choose the curve with these cofactors and minimal, positive A such that A > 2 and (A-2) is divisible by four. The find3Mod4 function in the following Sage script returns this value given p:
3 mod 4 に合同な素数の場合、曲線とツイストの両方の補因子を4にすることができ、これは最小です。したがって、これらの補因子を持ち、A > 2 かつ (A-2) が4で割り切れるような最小の正のAを持つ曲線を選択します。次のSageスクリプトの find3Mod4 関数は、p を指定するとこの値を返します。
<CODE BEGINS>
def find3Mod4(prime):
assert((prime % 4) == 3)
return findCurve(prime, 4, 4)
<CODE ENDS>
Generating a curve where p = 3 mod 4
p = 3 mod 4である曲線の生成
The base point for a curve is the point with minimal, positive u value that is in the correct subgroup. The findBasepoint function in the following Sage script returns this value given p and A:
曲線の基点は、正しい部分群内にある、最小の正のu値を持つ点です。次のSageスクリプトの findBasepoint 関数は、p と A を指定してこの値を返します。
<CODE BEGINS>
def findBasepoint(prime, A):
F = GF(prime)
E = EllipticCurve(F, [0, A, 0, 1, 0])
for uInt in range(1, 1e3):
u = F(uInt)
v2 = u^3 + A*u^2 + u
if not v2.is_square():
continue
v = v2.sqrt()
point = E(u, v)
pointOrder = point.order()
if pointOrder > 8 and pointOrder.is_prime():
return point
<CODE ENDS>
Generating the base point
基点の生成
Acknowledgements
謝辞
This document is the result of a combination of draft-black-rpgecc-01 and draft-turner-thecurve25519function-01. The following authors of those documents wrote much of the text and figures but are not listed as authors on this document: Benjamin Black, Joppe W. Bos, Craig Costello, Patrick Longa, Michael Naehrig, Watson Ladd, and Rich Salz.
このドキュメントは、draft-black-rpgecc-01 と draft-turner-thecurve25519function-01 を組み合わせた結果です。これらの文書の次の著者は、テキストと図の多くを執筆しましたが、このドキュメントの著者としては記載されていません：Benjamin Black、Joppe W. Bos、Craig Costello、Patrick Longa、Michael Naehrig、Watson Ladd、および Rich Salz。
The authors would also like to thank Tanja Lange, Rene Struik, Rich Salz, Ilari Liusvaara, Deirdre Connolly, Simon Josefsson, Stephen Farrell, Georg Nestmann, Trevor Perrin, and John Mattsson for their reviews and contributions.
著者はまた、レビューと貢献をしてくれたTanja Lange、Rene Struik、Rich Salz、Ilari Liusvaara、Deirdre Connolly、Simon Josefsson、Stephen Farrell、Georg Nestmann、Trevor Perrin、およびJohn Mattssonにも感謝します。
The X25519 function was developed by Daniel J. Bernstein in [curve25519].
X25519関数は、Daniel J. Bernsteinによって[curve25519]で開発されました。
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Adam Langley Google 345 Spear Street San Francisco, CA 94105 United States
Adam Langley Google 345 Spear Street San Francisco, CA 94105 United States
Email: agl@google.com
Mike Hamburg Rambus Cryptography Research 425 Market Street, 11th Floor San Francisco, CA 94105 United States
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Email: mike@shiftleft.org
Sean Turner sn3rd
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Email: sean@sn3rd.com