[要約] RFC 8032は、「Edwards-Curve Digital Signature Algorithm (EdDSA)」に関する技術仕様を定義しています。この文書では、高度なセキュリティ性能を持つデジタル署名アルゴリズムであるEdDSAの詳細、特にEd25519とEd448という二つの具体的な曲線の使用方法について説明しています。利用場面としては、ウェブ認証、メールの署名、ソフトウェアの署名検証など、デジタル署名が必要とされるあらゆる場面での応用が考えられます。関連するRFCとしては、RFC 7748（楕円曲線を用いた暗号化のための曲線の定義）が挙げられます。RFC 8032は、セキュリティと効率性を重視する現代のデジタル署名手法の基盤を提供しています。
Internet Research Task Force (IRTF) S. Josefsson
Request for Comments: 8032 SJD AB
Category: Informational I. Liusvaara
ISSN: 2070-1721 Independent
January 2017
Edwards-Curve Digital Signature Algorithm (EdDSA)
Edwards-Curveデジタル署名アルゴリズム（EdDSA）
Abstract
概要
This document describes elliptic curve signature scheme Edwards-curve Digital Signature Algorithm (EdDSA). The algorithm is instantiated with recommended parameters for the edwards25519 and edwards448 curves. An example implementation and test vectors are provided.
このドキュメントでは、楕円曲線署名方式のエドワーズ曲線デジタル署名アルゴリズム（EdDSA）について説明します。アルゴリズムは、edwards25519およびedwards448曲線の推奨パラメーターを使用してインスタンス化されます。実装例とテストベクタが提供されています。
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この文書は、Internet Research Task Force（IRTF）の製品です。 IRTFは、インターネット関連の研究開発活動の結果を公開しています。これらの結果は、展開に適さない可能性があります。このRFCは、インターネット研究タスクフォース（IRTF）の暗号フォーラム研究グループの合意を表します。 IRSGによる公開が承認されたドキュメントは、どのレベルのインターネット標準の候補にもなりません。 RFC 7841のセクション2をご覧ください。
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Table of Contents
目次
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Notation and Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. EdDSA Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1. Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Keys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3. Sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4. Verify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4. PureEdDSA, HashEdDSA, and Naming . . . . . . . . . . . . . . 8
5. EdDSA Instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.1. Ed25519ph, Ed25519ctx, and Ed25519 . . . . . . . . . . . 9
5.1.1. Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1.2. Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1.3. Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1.4. Point Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1.5. Key Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.6. Sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.7. Verify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2. Ed448ph and Ed448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2.1. Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2.2. Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2.3. Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2.4. Point Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2.5. Key Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2.6. Sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2.7. Verify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6. Ed25519 Python Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7. Test Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.1. Test Vectors for Ed25519 . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.2. Test Vectors for Ed25519ctx . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.3. Test Vectors for Ed25519ph . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4. Test Vectors for Ed448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.5. Test Vectors for Ed448ph . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8. Security Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.1. Side-Channel Leaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.2. Randomness Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.3. Use of Contexts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.4. Signature Malleability . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.5. Choice of Signature Primitive . . . . . . . . . . . . . . 41
8.6. Mixing Different Prehashes . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.7. Signing Large Amounts of Data at Once . . . . . . . . . . 42
8.8. Multiplication by Cofactor in Verification . . . . . . . 43
8.9. Use of SHAKE256 as a Hash Function . . . . . . . . . . . 43
9. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.1. Normative References . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.2. Informative References . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Appendix A. Ed25519/Ed448 Python Library . . . . . . . . . . . . 46
Appendix B. Library Driver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Authors' Addresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
The Edwards-curve Digital Signature Algorithm (EdDSA) is a variant of Schnorr's signature system with (possibly twisted) Edwards curves. EdDSA needs to be instantiated with certain parameters, and this document describes some recommended variants.
エドワーズ曲線デジタル署名アルゴリズム（EdDSA）は、（おそらくねじれた）エドワーズ曲線を備えたシュノーの署名システムの変形です。 EdDSAは特定のパラメーターでインスタンス化する必要があり、このドキュメントではいくつかの推奨されるバリアントについて説明します。
To facilitate adoption of EdDSA in the Internet community, this document describes the signature scheme in an implementation-oriented way and provides sample code and test vectors.
このドキュメントでは、インターネットコミュニティでのEdDSAの採用を容易にするために、実装指向の方法で署名方式を説明し、サンプルコードとテストベクトルを提供します。
The advantages with EdDSA are as follows:
EdDSAの利点は次のとおりです。
1. EdDSA provides high performance on a variety of platforms;
1. EdDSAは、さまざまなプラットフォームで高いパフォーマンスを提供します。
2. The use of a unique random number for each signature is not required;
2. 各署名に一意の乱数を使用する必要はありません。
3. It is more resilient to side-channel attacks;
3. サイドチャネル攻撃に対してより耐性があります。
4. EdDSA uses small public keys (32 or 57 bytes) and signatures (64 or 114 bytes) for Ed25519 and Ed448, respectively;
4. EdDSAは、Ed25519とEd448にそれぞれ小さな公開鍵（32または57バイト）と署名（64または114バイト）を使用します。
5. The formulas are "complete", i.e., they are valid for all points on the curve, with no exceptions. This obviates the need for EdDSA to perform expensive point validation on untrusted public values; and
5. 数式は「完全」です。つまり、例外はなく、曲線上のすべての点で有効です。これにより、EdDSAが信頼できないパブリックバリューに対してコストのかかるポイント検証を実行する必要がなくなります。そして
6. EdDSA provides collision resilience, meaning that hash-function collisions do not break this system (only holds for PureEdDSA).
6. EdDSAは衝突回復力を提供します。つまり、ハッシュ関数の衝突によってこのシステムが破壊されることはありません（PureEdDSAにのみ当てはまります）。
The original EdDSA paper [EDDSA] and the generalized version described in "EdDSA for more curves" [EDDSA2] provide further background. RFC 7748 [RFC7748] discusses specific curves, including Curve25519 [CURVE25519] and Ed448-Goldilocks [ED448].
オリジナルのEdDSAペーパー[EDDSA]と「その他の曲線用のEdDSA」[EDDSA2]で説明されている一般化されたバージョンは、さらに背景を提供します。 RFC 7748 [RFC7748]は、Curve25519 [CURVE25519]およびEd448-Goldilocks [ED448]を含む特定の曲線について説明しています。
Ed25519 is intended to operate at around the 128-bit security level and Ed448 at around the 224-bit security level. A sufficiently large quantum computer would be able to break both. Reasonable projections of the abilities of classical computers conclude that Ed25519 is perfectly safe. Ed448 is provided for those applications with relaxed performance requirements and where there is a desire to hedge against analytical attacks on elliptic curves.
Ed25519は約128ビットのセキュリティレベルで動作し、Ed448は約224ビットのセキュリティレベルで動作するように設計されています。十分に大きな量子コンピューターは、両方を破ることができます。古典的なコンピュータの能力の合理的な予測では、Ed25519は完全に安全であると結論付けています。 Ed448は、パフォーマンス要件が緩和され、楕円曲線に対する分析的攻撃を回避したいアプリケーション向けに提供されています。
The following notation is used throughout the document:
ドキュメント全体で次の表記が使用されています。
p Denotes the prime number defining the underlying field
p基礎となるフィールドを定義する素数を示します
GF(p) Finite field with p elements
GF（p）p要素の有限体
x^y x multiplied by itself y times
x ^ y xをy倍します
B Generator of the group or subgroup of interest
B対象のグループまたはサブグループのジェネレーター
[n]X X added to itself n times
[n] X X自体にn回追加されました
h[i] The i'th octet of octet string
h [i]オクテット文字列のi番目のオクテット
h_i The i'th bit of h
h_i hのi番目のビット
a || b (bit-)string a concatenated with (bit-)string b
|| b（ビット）文字列a（ビット）文字列bと連結
a <= b a is less than or equal to b
a <= b aはb以下
a >= b a is greater than or equal to b
a> = b aはb以上
i+j Sum of i and j
i + j iとjの合計
i*j Multiplication of i and j
i * j iとjの乗算
i-j Subtraction of j from i
i-j iからjの減算
i/j Division of i by j
i / j iのjによる除算
i x j Cartesian product of i and j
i x j iとjのデカルト積
(u,v) Elliptic curve point with x-coordinate u and y-coordinate v
（u、v）x座標がu、y座標がvの楕円曲線点
SHAKE256(x, y) The y first octets of SHAKE256 [FIPS202] output for input x
SHAKE256（x、y）入力xに対するSHAKE256 [FIPS202]出力の最初のyオクテット
OCTET(x) The octet with value x
OCTET（x）値がxのオクテット
OLEN(x) The number of octets in string x dom2(x, y) The blank octet string when signing or verifying Ed25519. Otherwise, the octet string: "SigEd25519 no Ed25519 collisions" || octet(x) || octet(OLEN(y)) || y, where x is in range 0-255 and y is an octet string of at most 255 octets. "SigEd25519 no Ed25519 collisions" is in ASCII (32 octets).
OLEN（x）文字列x内のオクテットの数dom2（x、y）Ed25519に署名または検証するときの空白のオクテット文字列。それ以外の場合、オクテット文字列： "SigEd25519 no Ed25519衝突" ||オクテット（x）||オクテット（OLEN（y））|| y、xは0〜255の範囲、yは最大255オクテットのオクテット文字列。 「SigEd25519 no Ed25519衝突」はASCII（32オクテット）です。
dom4(x, y) The octet string "SigEd448" || octet(x) || octet(OLEN(y)) || y, where x is in range 0-255 and y is an octet string of at most 255 octets. "SigEd448" is in ASCII (8 octets).
dom4（x、y）オクテット文字列 "SigEd448" ||オクテット（x）||オクテット（OLEN（y））|| y、xは0〜255の範囲、yは最大255オクテットのオクテット文字列。 "SigEd448"はASCII（8オクテット）です。
Parentheses (i.e., '(' and ')') are used to group expressions, in order to avoid having the description depend on a binding order between operators.
括弧（つまり（ '（'と '）'）は、演算子間の結合順序に依存する説明を避けるために、式をグループ化するために使用されます。
Bit strings are converted to octet strings by taking bits from left to right, packing those from the least significant bit of each octet to the most significant bit, and moving to the next octet when each octet fills up. The conversion from octet string to bit string is the reverse of this process; for example, the 16-bit bit string
ビット文字列は、ビットを左から右に取り、各オクテットの最下位ビットから最上位ビットにパッキングし、各オクテットがいっぱいになると次のオクテットに移動することにより、オクテット文字列に変換されます。オクテット文字列からビット文字列への変換は、このプロセスの逆です。たとえば、16ビットのビット文字列
b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b14 b15
б0б1б2бзбчб5бшбщб8бяб10б11б12б13б14б15
is converted into two octets x0 and x1 (in this order) as
2つのオクテットx0とx1に（この順序で）次のように変換されます。
x0 = b7*128+b6*64+b5*32+b4*16+b3*8+b2*4+b1*2+b0
x1 = b15*128+b14*64+b13*32+b12*16+b11*8+b10*4+b9*2+b8
Little-endian encoding into bits places bits from left to right and from least significant to most significant. If combined with bit-string-to-octet-string conversion defined above, this results in little-endian encoding into octets (if length is not a multiple of 8, the most significant bits of the last octet remain unused).
ビットへのリトルエンディアンエンコードでは、ビットが左から右に、最下位から最上位に配置されます。上記で定義されたビット文字列からオクテット文字列への変換と組み合わせる場合、これはオクテットへのリトルエンディアンエンコーディングになります（長さが8の倍数でない場合、最後のオクテットの最上位ビットは未使用のままです）。
The key words "MUST", "MUST NOT", "REQUIRED", "SHALL", "SHALL NOT", "SHOULD", "SHOULD NOT", "RECOMMENDED", "MAY", and "OPTIONAL" in this document are to be interpreted as described in [RFC2119].
このドキュメントのキーワード「MUST」、「MUST NOT」、「REQUIRED」、「SHALL」、「SHALL NOT」、「SHOULD」、「SHOULD NOT」、「RECOMMENDED」、「MAY」、および「OPTIONAL」は、 [RFC2119]で説明されているように解釈されます。
EdDSA is a digital signature system with 11 parameters.
EdDSAは、11個のパラメーターを持つデジタル署名システムです。
The generic EdDSA digital signature system with its 11 input parameters is not intended to be implemented directly. Choosing parameters is critical for secure and efficient operation. Instead, you would implement a particular parameter choice for EdDSA (such as Ed25519 or Ed448), sometimes slightly generalized to achieve code reuse to cover Ed25519 and Ed448.
11個の入力パラメーターを持つ一般的なEdDSAデジタル署名システムは、直接実装することを意図していません。安全で効率的な操作には、パラメータの選択が重要です。代わりに、EdDSAの特定のパラメーター選択（Ed25519やEd448など）を実装します。時には、Ed25519とEd448をカバーするコードの再利用を実現するために少し一般化されています。
Therefore, a precise explanation of the generic EdDSA is thus not particularly useful for implementers. For background and completeness, a succinct description of the generic EdDSA algorithm is given here.
したがって、一般的なEdDSAの正確な説明は、実装者にとって特に有用ではありません。背景と完全性のために、一般的なEdDSAアルゴリズムの簡潔な説明をここに示します。
The definition of some parameters, such as n and c, may help to explain some steps of the algorithm that are not intuitive.
nやcなどのいくつかのパラメーターの定義は、直感的でないアルゴリズムのいくつかのステップを説明するのに役立ちます。
This description closely follows [EDDSA2].
この説明は[EDDSA2]に密接に従っています。
EdDSA has 11 parameters:
EdDSAには11のパラメーターがあります。
1. An odd prime power p. EdDSA uses an elliptic curve over the finite field GF(p).
1. 奇数の素数p EdDSAは、有限体GF（p）上の楕円曲線を使用します。
2. An integer b with 2^(b-1) > p. EdDSA public keys have exactly b bits, and EdDSA signatures have exactly 2*b bits. b is recommended to be a multiple of 8, so public key and signature lengths are an integral number of octets.
2. 2 ^（b-1）> pの整数b。 EdDSA公開鍵は正確にbビットであり、EdDSA署名は正確に2 * bビットです。 bは8の倍数にすることをお勧めします。したがって、公開鍵と署名の長さはオクテットの整数です。
3. A (b-1)-bit encoding of elements of the finite field GF(p).
3. 有限体GF（p）の要素の（b-1）ビットエンコーディング。
4. A cryptographic hash function H producing 2*b-bit output. Conservative hash functions (i.e., hash functions where it is infeasible to create collisions) are recommended and do not have much impact on the total cost of EdDSA.
4. 2 * bビット出力を生成する暗号化ハッシュ関数H。保守的なハッシュ関数（つまり、衝突を作成することが不可能であるハッシュ関数）が推奨され、EdDSAの総コストにあまり影響を与えません。
5. An integer c that is 2 or 3. Secret EdDSA scalars are multiples of 2^c. The integer c is the base-2 logarithm of the so-called cofactor.
5. 2または3の整数c。秘密のEdDSAスカラーは2 ^ cの倍数です。整数cは、いわゆる補因子の2を底とする対数です。
6. An integer n with c <= n < b. Secret EdDSA scalars have exactly n + 1 bits, with the top bit (the 2^n position) always set and the bottom c bits always cleared.
6. c <= n <bの整数n。秘密のEdDSAスカラーは正確にn + 1ビットで、上位ビット（2 ^ nの位置）は常に設定され、下位cビットは常にクリアされます。
7. A non-square element d of GF(p). The usual recommendation is to take it as the value nearest to zero that gives an acceptable curve.
7. GF（p）の非正方形要素d。通常の推奨は、許容できる曲線を与えるゼロに最も近い値としてそれをとることです。
8. A non-zero square element a of GF(p). The usual recommendation for best performance is a = -1 if p mod 4 = 1, and a = 1 if p mod 4 = 3.
8. GF（p）の非ゼロの正方形要素a。最高のパフォーマンスを得るための通常の推奨は、p mod 4 = 1の場合はa = -1、p mod 4 = 3の場合はa = 1です。
9. An element B != (0,1) of the set E = { (x,y) is a member of GF(p) x GF(p) such that a * x^2 + y^2 = 1 + d * x^2 * y^2 }.
9. セットE = {（x、y）の要素B！=（0,1）はGF（p）x GF（p）のメンバーであり、a * x ^ 2 + y ^ 2 = 1 + d * x ^ 2 * y ^ 2}。
10. An odd prime L such that [L]B = 0 and 2^c * L = #E. The number #E (the number of points on the curve) is part of the standard data provided for an elliptic curve E, or it can be computed as cofactor * order.
10. [L] B = 0および2 ^ c * L = #Eとなる奇数素数L。数値#E（曲線上の点の数）は、楕円曲線Eに提供される標準データの一部であるか、補因子*オーダーとして計算できます。
11. A "prehash" function PH. PureEdDSA means EdDSA where PH is the identity function, i.e., PH(M) = M. HashEdDSA means EdDSA where PH generates a short output, no matter how long the message is; for example, PH(M) = SHA-512(M).
11. 「プリハッシュ」機能PH。 PureEdDSAは、PHが恒等関数であるEdDSAを意味します。つまり、PH（M）= Mです。HashEdDSAは、メッセージの長さに関係なく、PHが短い出力を生成するEdDSAを意味します。たとえば、PH（M）= SHA-512（M）。
Points on the curve form a group under addition, (x3, y3) = (x1, y1)
+ (x2, y2), with the formulas
x1 * y2 + x2 * y1 y1 * y2 - a * x1 * x2
x3 = --------------------------, y3 = ---------------------------
1 + d * x1 * x2 * y1 * y2 1 - d * x1 * x2 * y1 * y2
The neutral element in the group is (0,1).
グループの中立要素は（0,1）です。
Unlike many other curves used for cryptographic applications, these formulas are "complete"; they are valid for all points on the curve, with no exceptions. In particular, the denominators are non-zero for all input points.
暗号化アプリケーションに使用される他の多くの曲線とは異なり、これらの式は「完全」です。これらは、例外なく、カーブ上のすべてのポイントに有効です。特に、分母はすべての入力ポイントでゼロ以外です。
There are more efficient formulas, which are still complete, that use homogeneous coordinates to avoid the expensive modulo p inversions. See [Faster-ECC] and [Edwards-revisited].
高価なモジュロpの反転を回避するために同次座標を使用する、より完全な式がまだ完成しています。 [Faster-ECC]および[Edwards-revisited]を参照してください。
An integer 0 < S < L - 1 is encoded in little-endian form as a b-bit string ENC(S).
整数0 <S <L-1は、リトルエンディアン形式でbビット文字列ENC（S）としてエンコードされます。
An element (x,y) of E is encoded as a b-bit string called ENC(x,y), which is the (b-1)-bit encoding of y concatenated with one bit that is 1 if x is negative and 0 if x is not negative.
Eの要素（x、y）は、ENC（x、y）と呼ばれるbビット文字列としてエンコードされます。これは、xが負の場合に1である1ビットと連結されたyの（b-1）ビットエンコードです。 xが負でない場合は0。
The encoding of GF(p) is used to define "negative" elements of GF(p): specifically, x is negative if the (b-1)-bit encoding of x is lexicographically larger than the (b-1)-bit encoding of -x.
GF（p）のエンコーディングは、GF（p）の「負の」要素を定義するために使用されます。具体的には、xの（b-1）ビットエンコーディングが辞書順で（b-1）ビットより大きい場合、xは負です-xのエンコーディング。
An EdDSA private key is a b-bit string k. Let the hash H(k) =
(h_0, h_1, ..., h_(2b-1)) determine an integer s, which is 2^n plus
the sum of m = 2^i * h_i for all integer i, c <= i < n. Let s
determine the multiple A = [s]B. The EdDSA public key is ENC(A).
The bits h_b, ..., h_(2b-1) are used below during signing.
The EdDSA signature of a message M under a private key k is defined as the PureEdDSA signature of PH(M). In other words, EdDSA simply uses PureEdDSA to sign PH(M).
秘密鍵kの下のメッセージMのEdDSA署名は、PH（M）のPureEdDSA署名として定義されます。つまり、EdDSAは単にPureEdDSAを使用してPH（M）に署名します。
The PureEdDSA signature of a message M under a private key k is the
2*b-bit string ENC(R) || ENC(S). R and S are derived as follows.
First define r = H(h_b || ... || h_(2b-1) || M) interpreting 2*b-bit
strings in little-endian form as integers in {0, 1, ..., 2^(2*b) -
1}. Let R = [r]B and S = (r + H(ENC(R) || ENC(A) || PH(M)) * s) mod
L. The s used here is from the previous section.
To verify a PureEdDSA signature ENC(R) || ENC(S) on a message M under a public key ENC(A), proceed as follows. Parse the inputs so that A and R are elements of E, and S is a member of the set {0, 1, ..., L-1}. Compute h = H(ENC(R) || ENC(A) || M), and check the group equation [2^c * S] B = 2^c * R + [2^c * h] A in E. The signature is rejected if parsing fails (including S being out of range) or if the group equation does not hold.
PureEdDSA署名ENC（R）を確認するには||公開鍵ENC（A）の下のメッセージMのENC（S）は、次のように処理します。 AとRがEの要素であり、Sがセット{0、1、...、L-1}のメンバーになるように入力を解析します。 h = H（ENC（R）|| ENC（A）|| M）を計算し、グループ方程式を確認します[2 ^ c * S] B = 2 ^ c * R + [2 ^ c * h] A in E解析が失敗した場合（Sが範囲外であることを含む）、またはグループ方程式が成立しない場合、署名は拒否されます。
EdDSA verification for a message M is defined as PureEdDSA verification for PH(M).
メッセージMのEdDSA検証は、PH（M）のPureEdDSA検証として定義されています。
One of the parameters of the EdDSA algorithm is the "prehash" function. This may be the identity function, resulting in an algorithm called PureEdDSA, or a collision-resistant hash function such as SHA-512, resulting in an algorithm called HashEdDSA.
EdDSAアルゴリズムのパラメーターの1つは、「プリハッシュ」関数です。これは、PureEdDSAと呼ばれるアルゴリズムをもたらす同一性関数、またはHashEdDSAと呼ばれるアルゴリズムをもたらすSHA-512などの衝突耐性ハッシュ関数の可能性があります。
Choosing which variant to use depends on which property is deemed to be more important between 1) collision resilience and 2) a single-pass interface for creating signatures. The collision resilience property means EdDSA is secure even if it is feasible to compute collisions for the hash function. The single-pass interface property means that only one pass over the input message is required to create a signature. PureEdDSA requires two passes over the input. Many existing APIs, protocols, and environments assume digital signature algorithms only need one pass over the input and may have API or bandwidth concerns supporting anything else.
使用するバリアントの選択は、1）衝突耐性と2）署名を作成するためのシングルパスインターフェイスの間で、どのプロパティがより重要であると考えられるかによって異なります。衝突耐性プロパティは、ハッシュ関数の衝突を計算することが可能であってもEdDSAが安全であることを意味します。シングルパスインターフェイスプロパティは、署名を作成するために必要なのは、入力メッセージを1回だけ通過することです。 PureEdDSAでは、入力に2つのパスが必要です。多くの既存のAPI、プロトコル、および環境は、デジタル署名アルゴリズムが入力を1回だけ通過する必要があることを想定しており、APIまたは帯域幅の問題が他のことをサポートしている可能性があります。
Note that single-pass verification is not possible with most uses of signatures, no matter which signature algorithm is chosen. This is because most of the time, one can't process the message until the signature is validated, which needs a pass on the entire message.
シングルパス検証は、どの署名アルゴリズムを選択しても、ほとんどの署名では使用できないことに注意してください。これは、ほとんどの場合、メッセージ全体のパスを必要とする署名が検証されるまでメッセージを処理できないためです。
This document specifies parameters resulting in the HashEdDSA variants Ed25519ph and Ed448ph and the PureEdDSA variants Ed25519 and Ed448.
このドキュメントでは、HashEdDSAバリアントEd25519phとEd448ph、およびPureEdDSAバリアントEd25519とEd448になるパラメーターを指定します。
This section instantiates the general EdDSA algorithm for the edwards25519 and edwards448 curves, each for the PureEdDSA and HashEdDSA variants (plus a contextualized extension of the Ed25519 scheme). Thus, five different parameter sets are described.
このセクションでは、edure25519およびedwards448曲線の一般的なEdDSAアルゴリズムをインスタンス化します。それぞれ、PureEdDSAおよびHashEdDSAバリアント（およびEd25519スキームのコンテキスト化された拡張）の曲線です。したがって、5つの異なるパラメーターセットについて説明します。
Ed25519 is EdDSA instantiated with:
Ed25519は、次のようにインスタンス化されたEdDSAです。
+-----------+-------------------------------------------------------+
| Parameter | Value |
+-----------+-------------------------------------------------------+
| p | p of edwards25519 in [RFC7748] (i.e., 2^255 - 19) |
| b | 256 |
| encoding | 255-bit little-endian encoding of {0, 1, ..., p-1} |
| of GF(p) | |
| H(x) | SHA-512(dom2(phflag,context)||x) [RFC6234] |
| c | base 2 logarithm of cofactor of edwards25519 in |
| | [RFC7748] (i.e., 3) |
| n | 254 |
| d | d of edwards25519 in [RFC7748] (i.e., -121665/121666 |
| | = 370957059346694393431380835087545651895421138798432 |
| | 19016388785533085940283555) |
| a | -1 |
| B | (X(P),Y(P)) of edwards25519 in [RFC7748] (i.e., (1511 |
| | 22213495354007725011514095885315114540126930418572060 |
| | 46113283949847762202, 4631683569492647816942839400347 |
| | 5163141307993866256225615783033603165251855960)) |
| L | order of edwards25519 in [RFC7748] (i.e., |
| | 2^252+27742317777372353535851937790883648493). |
| PH(x) | x (i.e., the identity function) |
+-----------+-------------------------------------------------------+
Table 1: Parameters of Ed25519
表1：Ed25519のパラメーター
For Ed25519, dom2(f,c) is the empty string. The phflag value is irrelevant. The context (if present at all) MUST be empty. This causes the scheme to be one and the same with the Ed25519 scheme published earlier.
Ed25519の場合、dom2（f、c）は空の文字列です。 phflag値は無関係です。コンテキスト（存在する場合）は空である必要があります。これにより、スキームは以前に公開されたEd25519スキームと同じになります。
For Ed25519ctx, phflag=0. The context input SHOULD NOT be empty.
Ed25519ctxの場合、phflag = 0。コンテキスト入力は空であってはなりません。
For Ed25519ph, phflag=1 and PH is SHA512 instead. That is, the input is hashed using SHA-512 before signing with Ed25519.
Ed25519phの場合、phflag = 1で、代わりにPHはSHA512です。つまり、入力はEd25519で署名する前にSHA-512を使用してハッシュされます。
Value of context is set by the signer and verifier (maximum of 255 octets; the default is empty string, except for Ed25519, which can't have context) and has to match octet by octet for verification to be successful.
コンテキストの値は、署名者と検証者によって設定され（最大255オクテット。デフォルトは、コンテキストを持たないEd25519を除いて、空の文字列です）、検証を成功させるには、オクテットごとにオクテットを一致させる必要があります。
The curve used is equivalent to Curve25519 [CURVE25519], under a change of coordinates, which means that the difficulty of the discrete logarithm problem is the same as for Curve25519.
使用される曲線は、座標が変更された場合のCurve25519 [CURVE25519]と同等です。つまり、離散対数問題の難易度はCurve25519の場合と同じです。
For advice on how to implement arithmetic modulo p = 2^255 - 19 efficiently and securely, see Curve25519 [CURVE25519]. For inversion modulo p, it is recommended to use the identity x^-1 = x^(p-2) (mod p). Inverting zero should never happen, as it would require invalid input, which would have been detected before, or would be a calculation error.
p = 2 ^ 255-19を法とする算術演算を効率的かつ安全に実装する方法については、Curve25519 [CURVE25519]を参照してください。 pを法とする逆行列の場合、恒等式x ^ -1 = x ^（p-2）（mod p）を使用することをお勧めします。以前に検出された無効な入力が必要になるか、計算エラーになるため、ゼロの反転は発生しません。
For point decoding or "decompression", square roots modulo p are needed. They can be computed using the Tonelli-Shanks algorithm or the special case for p = 5 (mod 8). To find a square root of a, first compute the candidate root x = a^((p+3)/8) (mod p). Then there are three cases:
ポイントデコードまたは「圧縮解除」では、pを法とする平方根が必要です。これらは、Tonelli-Shanksアルゴリズムまたはp = 5（mod 8）の特殊なケースを使用して計算できます。 aの平方根を見つけるには、最初に候補根x = a ^（（p + 3）/ 8）（mod p）を計算します。次に、3つのケースがあります。
x^2 = a (mod p). Then x is a square root.
x ^ 2 = a（mod p）。次に、xは平方根です。
x^2 = -a (mod p). Then 2^((p-1)/4) * x is a square root.
x ^ 2 = -a（mod p）。次に、2 ^（（p-1）/ 4）* xは平方根です。
a is not a square modulo p.
aはpを法とする二乗ではありません。
All values are coded as octet strings, and integers are coded using little-endian convention, i.e., a 32-octet string h h[0],...h[31] represents the integer h[0] + 2^8 * h[1] + ... + 2^248 * h[31].
すべての値はオクテット文字列としてコード化されており、整数はリトルエンディアン規則を使用してコード化されています。 [1] + ... + 2 ^ 248 * h [31]。
A curve point (x,y), with coordinates in the range 0 <= x,y < p, is coded as follows. First, encode the y-coordinate as a little-endian string of 32 octets. The most significant bit of the final octet is always zero. To form the encoding of the point, copy the least significant bit of the x-coordinate to the most significant bit of the final octet.
座標が0 <= x、y <pのカーブポイント（x、y）は、次のようにコード化されます。最初に、y座標を32オクテットのリトルエンディアン文字列としてエンコードします。最終オクテットの最上位ビットは常にゼロです。ポイントのエンコーディングを形成するには、x座標の最下位ビットを最後のオクテットの最上位ビットにコピーします。
Decoding a point, given as a 32-octet string, is a little more complicated.
32オクテット文字列として指定されたポイントのデコードは、もう少し複雑です。
1. First, interpret the string as an integer in little-endian representation. Bit 255 of this number is the least significant bit of the x-coordinate and denote this value x_0. The y-coordinate is recovered simply by clearing this bit. If the resulting value is >= p, decoding fails.
1. 最初に、文字列をリトルエンディアン表現の整数として解釈します。この数値のビット255は、x座標の最下位ビットであり、この値x_0を示します。このビットをクリアするだけで、y座標が復元されます。結果の値が> = pの場合、デコードは失敗します。
2. To recover the x-coordinate, the curve equation implies x^2 = (y^2 - 1) / (d y^2 + 1) (mod p). The denominator is always non-zero mod p. Let u = y^2 - 1 and v = d y^2 + 1. To compute the square root of (u/v), the first step is to compute the candidate root x = (u/v)^((p+3)/8). This can be done with the following trick, using a single modular powering for both the inversion of v and the square root:
2. x座標を復元するために、曲線方程式はx ^ 2 =（y ^ 2-1）/（d y ^ 2 + 1）（mod p）を意味します。分母は常に非ゼロmod pです。 u = y ^ 2-1とv = dy ^ 2 + 1とします。（u / v）の平方根を計算するための最初のステップは、候補根x =（u / v）^（（p + 3）/ 8）。これは、vの反転と平方根の両方に単一のモジュラーパワーを使用して、次のトリックで実行できます。
(p+3)/8 3 (p-5)/8
x = (u/v) = u v (u v^7) (mod p)
3. Again, there are three cases:
3. この場合も、3つのケースがあります。
1. If v x^2 = u (mod p), x is a square root.
1. v x ^ 2 = u（mod p）の場合、xは平方根です。
2. If v x^2 = -u (mod p), set x <-- x * 2^((p-1)/4), which is a square root.
2. v x ^ 2 = -u（mod p）の場合、x <-x * 2 ^（（p-1）/ 4）を設定します。これは平方根です。
3. Otherwise, no square root exists for modulo p, and decoding fails.
3. そうでない場合、pを法とする平方根は存在せず、デコードは失敗します。
4. Finally, use the x_0 bit to select the right square root. If x = 0, and x_0 = 1, decoding fails. Otherwise, if x_0 != x mod 2, set x <-- p - x. Return the decoded point (x,y).
4. 最後に、x_0ビットを使用して、正しい平方根を選択します。 x = 0、x_0 = 1の場合、デコードは失敗します。それ以外の場合、x_0！= x mod 2の場合、x <-p-xを設定します。デコードされたポイント（x、y）を返します。
For point addition, the following method is recommended. A point (x,y) is represented in extended homogeneous coordinates (X, Y, Z, T), with x = X/Z, y = Y/Z, x * y = T/Z.
ポイント加算は以下の方法をお勧めします。点（x、y）は拡張同次座標（X、Y、Z、T）で表され、x = X / Z、y = Y / Z、x * y = T / Zです。
The neutral point is (0,1), or equivalently in extended homogeneous coordinates (0, Z, Z, 0) for any non-zero Z.
中立点は（0,1）、またはゼロ以外のZの拡張同次座標（0、Z、Z、0）と同等です。
The following formulas for adding two points, (x3,y3) = (x1,y1)+(x2,y2), on twisted Edwards curves with a=-1, square a, and non-square d are described in Section 3.1 of [Edwards-revisited] and in [EFD-TWISTED-ADD]. They are complete, i.e., they work for any pair of valid input points.
2つのポイントを追加するための次の式（x3、y3）=（x1、y1）+（x2、y2）は、a = -1、正方形a、および非正方形dのねじれたエドワーズ曲線で、セクション3.1で説明されています[Edwards-revisited]および[EFD-TWISTED-ADD]。それらは完全です。つまり、有効な入力ポイントの任意のペアで機能します。
A = (Y1-X1)*(Y2-X2)
B = (Y1+X1)*(Y2+X2)
C = T1*2*d*T2
D = Z1*2*Z2
E = B-A
F = D-C
G = D+C
H = B+A
X3 = E*F
Y3 = G*H
T3 = E*H
Z3 = F*G
For point doubling, (x3,y3) = (x1,y1)+(x1,y1), one could just
substitute equal points in the above (because of completeness, such
substitution is valid) and observe that four multiplications turn
into squares. However, using the formulas described in Section 3.2
of [Edwards-revisited] and in [EFD-TWISTED-DBL] saves a few smaller
operations.
A = X1^2
B = Y1^2
C = 2*Z1^2
H = A+B
E = H-(X1+Y1)^2
G = A-B
F = C+G
X3 = E*F
Y3 = G*H
T3 = E*H
Z3 = F*G
The private key is 32 octets (256 bits, corresponding to b) of cryptographically secure random data. See [RFC4086] for a discussion about randomness.
秘密鍵は、32オクテット（256ビット、bに対応）の暗号で保護されたランダムデータです。ランダム性についての議論は[RFC4086]を参照してください。
The 32-byte public key is generated by the following steps.
32バイトの公開鍵は、次の手順で生成されます。
1. Hash the 32-byte private key using SHA-512, storing the digest in a 64-octet large buffer, denoted h. Only the lower 32 bytes are used for generating the public key.
1. SHA-512を使用して32バイトの秘密鍵をハッシュし、hで示される64オクテットの大きなバッファーにダイジェストを格納します。公開鍵の生成には、下位32バイトのみが使用されます。
2. Prune the buffer: The lowest three bits of the first octet are cleared, the highest bit of the last octet is cleared, and the second highest bit of the last octet is set.
2. バッファのプルーニング：最初のオクテットの最下位3ビットがクリアされ、最後のオクテットの最上位ビットがクリアされ、最後のオクテットの2番目に上位のビットが設定されます。
3. Interpret the buffer as the little-endian integer, forming a secret scalar s. Perform a fixed-base scalar multiplication [s]B.
3. バッファーをリトルエンディアン整数として解釈し、秘密のスカラーsを形成します。固定ベースのスカラー倍算[s] Bを実行します。
4. The public key A is the encoding of the point [s]B. First, encode the y-coordinate (in the range 0 <= y < p) as a little-endian string of 32 octets. The most significant bit of the final octet is always zero. To form the encoding of the point [s]B, copy the least significant bit of the x coordinate to the most significant bit of the final octet. The result is the public key.
4. 公開鍵Aは、ポイント[s] Bのエンコードです。最初に、y座標（0 <= y <pの範囲）を32オクテットのリトルエンディアン文字列としてエンコードします。最終オクテットの最上位ビットは常にゼロです。ポイント[s] Bのエンコーディングを形成するには、x座標の最下位ビットを最後のオクテットの最上位ビットにコピーします。結果は公開鍵です。
The inputs to the signing procedure is the private key, a 32-octet string, and a message M of arbitrary size. For Ed25519ctx and Ed25519ph, there is additionally a context C of at most 255 octets and a flag F, 0 for Ed25519ctx and 1 for Ed25519ph.
署名手順への入力は、秘密鍵、32オクテット文字列、および任意のサイズのメッセージMです。 Ed25519ctxとEd25519phの場合、追加で最大255オクテットのコンテキストCとフラグF、Ed25519ctxの場合は0、Ed25519phの場合は1が追加されます。
1. Hash the private key, 32 octets, using SHA-512. Let h denote the resulting digest. Construct the secret scalar s from the first half of the digest, and the corresponding public key A, as described in the previous section. Let prefix denote the second half of the hash digest, h[32],...,h[63].
1. SHA-512を使用して、32オクテットの秘密鍵をハッシュします。結果のダイジェストをhと示します。前のセクションで説明したように、ダイジェストの前半から秘密スカラーsと対応する公開鍵Aを作成します。 prefixがハッシュダイジェストの後半、h [32]、...、h [63]であることを示します。
2. Compute SHA-512(dom2(F, C) || prefix || PH(M)), where M is the message to be signed. Interpret the 64-octet digest as a little-endian integer r.
2. SHA-512（dom2（F、C）|| prefix || PH（M））を計算します。ここで、Mは署名されるメッセージです。 64オクテットのダイジェストをリトルエンディアン整数rとして解釈します。
3. Compute the point [r]B. For efficiency, do this by first reducing r modulo L, the group order of B. Let the string R be the encoding of this point.
3. 点[r] Bを計算します。効率を上げるために、まずBのグループ次数であるLを法とするrを減らすことでこれを行います。文字列Rをこのポイントのエンコーディングとします。
4. Compute SHA512(dom2(F, C) || R || A || PH(M)), and interpret the 64-octet digest as a little-endian integer k.
4. SHA512（dom2（F、C）|| R || A || PH（M））を計算し、64オクテットダイジェストをリトルエンディアン整数kとして解釈します。
5. Compute S = (r + k * s) mod L. For efficiency, again reduce k modulo L first.
5. S =（r + k * s）mod Lを計算します。効率を上げるために、再びLを法とするkを最初に減らします。
6. Form the signature of the concatenation of R (32 octets) and the little-endian encoding of S (32 octets; the three most significant bits of the final octet are always zero).
6. Rの連結の署名（32オクテット）とSのリトルエンディアンエンコード（32オクテット。最後のオクテットの最上位3ビットは常にゼロ）を形成します。
1. To verify a signature on a message M using public key A, with F being 0 for Ed25519ctx, 1 for Ed25519ph, and if Ed25519ctx or Ed25519ph is being used, C being the context, first split the signature into two 32-octet halves. Decode the first half as a point R, and the second half as an integer S, in the range 0 <= s < L. Decode the public key A as point A'. If any of the decodings fail (including S being out of range), the signature is invalid.
1. 公開鍵Aを使用してメッセージMの署名を検証するには、FがEd25519ctxの場合は0、Ed25519phの場合は1、Ed25519ctxまたはEd25519phが使用されている場合（Cがコンテキストの場合）、まず署名を2つの32オクテットの半分に分割します。前半をポイントRとして、後半を整数Sとして、0 <= s <Lの範囲でデコードします。公開鍵AをポイントA 'としてデコードします。デコードのいずれかが失敗した場合（Sが範囲外であることを含む）、署名は無効です。
2. Compute SHA512(dom2(F, C) || R || A || PH(M)), and interpret the 64-octet digest as a little-endian integer k.
2. SHA512（dom2（F、C）|| R || A || PH（M））を計算し、64オクテットダイジェストをリトルエンディアン整数kとして解釈します。
3. Check the group equation [8][S]B = [8]R + [8][k]A'. It's sufficient, but not required, to instead check [S]B = R + [k]A'.
3. グループ方程式[8] [S] B = [8] R + [8] [k] A 'を確認してください。代わりに[S] B = R + [k] A 'をチェックするだけで十分ですが、必須ではありません。
Ed448 is EdDSA instantiated with:
Ed448は、次のようにインスタンス化されたEdDSAです。
+-----------+-------------------------------------------------------+
| Parameter | Value |
+-----------+-------------------------------------------------------+
| p | p of edwards448 in [RFC7748] (i.e., 2^448 - 2^224 - |
| | 1) |
| b | 456 |
| encoding | 455-bit little-endian encoding of {0, 1, ..., p-1} |
| of GF(p) | |
| H(x) | SHAKE256(dom4(phflag,context)||x, 114) |
| phflag | 0 |
| c | base 2 logarithm of cofactor of edwards448 in |
| | [RFC7748] (i.e., 2) |
| n | 447 |
| d | d of edwards448 in [RFC7748] (i.e., -39081) |
| a | 1 |
| B | (X(P),Y(P)) of edwards448 in [RFC7748] (i.e., (224580 |
| | 04029592430018760433409989603624678964163256413424612 |
| | 54616869504154674060329090291928693579532825780320751 |
| | 46446173674602635247710, 2988192100784814926760179304 |
| | 43930673437544040154080242095928241372331506189835876 |
| | 00353687865541878473398230323350346250053154506283266 |
| | 0)) |
| L | order of edwards448 in [RFC7748] (i.e., 2^446 - 13818 |
| | 06680989511535200738674851542688033669247488217860989 |
| | 4547503885). |
| PH(x) | x (i.e., the identity function) |
+-----------+-------------------------------------------------------+
Table 2: Parameters of Ed448
表2：Ed448のパラメーター
Ed448ph is the same but with PH being SHAKE256(x, 64) and phflag being 1, i.e., the input is hashed before signing with Ed448 with a hash constant modified.
Ed448phは同じですが、PHはSHAKE256（x、64）で、phflagは1です。つまり、入力はハッシュ定数を変更してEd448で署名する前にハッシュされます。
Value of context is set by signer and verifier (maximum of 255 octets; the default is empty string) and has to match octet by octet for verification to be successful.
コンテキストの値は署名者と検証者によって設定され（最大255オクテット、デフォルトは空の文字列）、検証を成功させるにはオクテットごとにオクテットを一致させる必要があります。
The curve is equivalent to Ed448-Goldilocks under change of the basepoint, which preserves difficulty of the discrete logarithm.
曲線は、基点が変更されたときのEd448-Goldilocksと同等であり、離散対数の難易度が保持されます。
For advice on how to implement arithmetic modulo p = 2^448 - 2^224 - 1 efficiently and securely, see [ED448]. For inversion modulo p, it is recommended to use the identity x^-1 = x^(p-2) (mod p). Inverting zero should never happen, as it would require invalid input, which would have been detected before, or would be a calculation error.
p = 2 ^ 448-2 ^ 224-1を効率的かつ安全に計算する方法のアドバイスについては、[ED448]を参照してください。 pを法とする逆行列の場合、恒等式x ^ -1 = x ^（p-2）（mod p）を使用することをお勧めします。以前に検出された無効な入力が必要になるか、計算エラーになるため、ゼロの反転は発生しません。
For point decoding or "decompression", square roots modulo p are needed. They can be computed by first computing candidate root x = a ^ (p+1)/4 (mod p) and then checking if x^2 = a. If it is, then x is the square root of a; if it isn't, then a does not have a square root.
ポイントデコードまたは「圧縮解除」では、pを法とする平方根が必要です。それらは、最初に候補ルートx = a ^（p + 1）/ 4（mod p）を計算し、次にx ^ 2 = aかどうかをチェックすることで計算できます。そうである場合、xはaの平方根です。そうでない場合、aの平方根はありません。
All values are coded as octet strings, and integers are coded using little-endian convention, i.e., a 57-octet string h h[0],...h[56] represents the integer h[0] + 2^8 * h[1] + ... + 2^448 * h[56].
すべての値はオクテット文字列としてコード化され、整数はリトルエンディアン規則を使用してコード化されます。つまり、57オクテット文字列hh [0]、... h [56]は整数h [0] + 2 ^ 8 * hを表します[1] + ... + 2 ^ 448 * h [56]。
A curve point (x,y), with coordinates in the range 0 <= x,y < p, is coded as follows. First, encode the y-coordinate as a little-endian string of 57 octets. The final octet is always zero. To form the encoding of the point, copy the least significant bit of the x-coordinate to the most significant bit of the final octet.
座標が0 <= x、y <pのカーブポイント（x、y）は、次のようにコード化されます。まず、y座標を57オクテットのリトルエンディアン文字列としてエンコードします。最後のオクテットは常にゼロです。ポイントのエンコーディングを形成するには、x座標の最下位ビットを最後のオクテットの最上位ビットにコピーします。
Decoding a point, given as a 57-octet string, is a little more complicated.
57オクテットの文字列として与えられるポイントのデコードは、もう少し複雑です。
1. First, interpret the string as an integer in little-endian representation. Bit 455 of this number is the least significant bit of the x-coordinate, and denote this value x_0. The y-coordinate is recovered simply by clearing this bit. If the resulting value is >= p, decoding fails.
1. 最初に、文字列をリトルエンディアン表現の整数として解釈します。この数値のビット455は、x座標の最下位ビットであり、この値x_0を示します。このビットをクリアするだけで、y座標が復元されます。結果の値が> = pの場合、デコードは失敗します。
2. To recover the x-coordinate, the curve equation implies x^2 = (y^2 - 1) / (d y^2 - 1) (mod p). The denominator is always non-zero mod p. Let u = y^2 - 1 and v = d y^2 - 1. To compute the square root of (u/v), the first step is to compute the candidate root x = (u/v)^((p+1)/4). This can be done using the following trick, to use a single modular powering for both the inversion of v and the square root:
2. x座標を復元するために、曲線方程式はx ^ 2 =（y ^ 2-1）/（d y ^ 2-1）（mod p）を意味します。分母は常に非ゼロmod pです。 u = y ^ 2-1とv = dy ^ 2-1とします。（u / v）の平方根を計算するための最初のステップは、候補根x =（u / v）^（（p + 1）/ 4）。これは、vの反転と平方根の両方に単一のモジュラーパワーを使用する次のトリックを使用して行うことができます。
(p+1)/4 3 (p-3)/4
x = (u/v) = u v (u^5 v^3) (mod p)
3. If v * x^2 = u, the recovered x-coordinate is x. Otherwise, no square root exists, and the decoding fails.
3. v * x ^ 2 = uの場合、復元されたx座標はxです。そうでない場合、平方根は存在せず、デコードは失敗します。
4. Finally, use the x_0 bit to select the right square root. If x = 0, and x_0 = 1, decoding fails. Otherwise, if x_0 != x mod 2, set x <-- p - x. Return the decoded point (x,y).
4. 最後に、x_0ビットを使用して、正しい平方根を選択します。 x = 0、x_0 = 1の場合、デコードは失敗します。それ以外の場合、x_0！= x mod 2の場合、x <-p-xを設定します。デコードされたポイント（x、y）を返します。
For point addition, the following method is recommended. A point (x,y) is represented in projective coordinates (X, Y, Z), with x = X/Z, y = Y/Z.
ポイント加算は以下の方法をお勧めします。ポイント（x、y）は、x = X / Z、y = Y / Zの射影座標（X、Y、Z）で表されます。
The neutral point is (0,1), or equivalently in projective coordinates (0, Z, Z) for any non-zero Z.
中立点は（0,1）、またはゼロ以外のZの射影座標（0、Z、Z）と同等です。
The following formulas for adding two points, (x3,y3) = (x1,y1)+(x2,y2) on untwisted Edwards curve (i.e., a=1) with non-square d, are described in Section 4 of [Faster-ECC] and in [EFD-ADD]. They are complete, i.e., they work for any pair of valid input points.
2つの点を追加するための次の式、（x3、y3）=（x1、y1）+（x2、y2）は、非正方形dのねじれのないエドワーズ曲線（つまり、a = 1）で、[Faster -ECC]および[EFD-ADD]内。それらは完全です。つまり、有効な入力ポイントの任意のペアで機能します。
A = Z1*Z2
B = A^2
C = X1*X2
D = Y1*Y2
E = d*C*D
F = B-E
G = B+E
H = (X1+Y1)*(X2+Y2)
X3 = A*F*(H-C-D)
Y3 = A*G*(D-C)
Z3 = F*G
Again, similar to the other curve, doubling formulas can be obtained by substituting equal points, turning four multiplications into squares. However, this is not even nearly optimal; the following formulas described in Section 4 of [Faster-ECC] and in [EFD-DBL] save multiple multiplications.
繰り返しになりますが、他の曲線と同様に、2倍の公式は、等しい点を代入して4つの乗算を2乗に変換することで得られます。ただし、これはほとんど最適とは言えません。 [Faster-ECC]のセクション4と[EFD-DBL]で説明されている次の式は、複数の乗算を保存します。
B = (X1+Y1)^2
C = X1^2
D = Y1^2
E = C+D
H = Z1^2
J = E-2*H
X3 = (B-E)*J
Y3 = E*(C-D)
Z3 = E*J
The private key is 57 octets (456 bits, corresponding to b) of cryptographically secure random data. See [RFC4086] for a discussion about randomness.
秘密鍵は、57オクテット（456ビット、bに対応）の暗号で保護されたランダムデータです。ランダム性についての議論は[RFC4086]を参照してください。
The 57-byte public key is generated by the following steps:
57バイトの公開鍵は、次の手順で生成されます。
1. Hash the 57-byte private key using SHAKE256(x, 114), storing the digest in a 114-octet large buffer, denoted h. Only the lower 57 bytes are used for generating the public key.
1. SHAKE256（x、114）を使用して57バイトの秘密鍵をハッシュし、hで示される114オクテットの大きなバッファーにダイジェストを格納します。公開鍵の生成には、下位57バイトのみが使用されます。
2. Prune the buffer: The two least significant bits of the first octet are cleared, all eight bits the last octet are cleared, and the highest bit of the second to last octet is set.
2. バッファのプルーニング：最初のオクテットの最下位2ビットがクリアされ、最後のオクテットの8ビットがすべてクリアされ、最後から2番目のオクテットの最上位ビットが設定されます。
3. Interpret the buffer as the little-endian integer, forming a secret scalar s. Perform a known-base-point scalar multiplication [s]B.
3. バッファーをリトルエンディアン整数として解釈し、秘密のスカラーsを形成します。既知の基点のスカラー倍算[s] Bを実行します。
4. The public key A is the encoding of the point [s]B. First encode the y-coordinate (in the range 0 <= y < p) as a little-endian string of 57 octets. The most significant bit of the final octet is always zero. To form the encoding of the point [s]B, copy the least significant bit of the x coordinate to the most significant bit of the final octet. The result is the public key.
4. 公開鍵Aは、ポイント[s] Bのエンコードです。最初に、y座標（0 <= y <pの範囲）を57オクテットのリトルエンディアン文字列としてエンコードします。最終オクテットの最上位ビットは常にゼロです。ポイント[s] Bのエンコーディングを形成するには、x座標の最下位ビットを最後のオクテットの最上位ビットにコピーします。結果は公開鍵です。
The inputs to the signing procedure is the private key, a 57-octet string, a flag F, which is 0 for Ed448, 1 for Ed448ph, context C of at most 255 octets, and a message M of arbitrary size.
署名手順への入力は、秘密鍵、57オクテットの文字列、Ed448では0、Ed448phでは1であるフラグF、最大255オクテットのコンテキストC、および任意のサイズのメッセージMです。
1. Hash the private key, 57 octets, using SHAKE256(x, 114). Let h denote the resulting digest. Construct the secret scalar s from the first half of the digest, and the corresponding public key A, as described in the previous section. Let prefix denote the second half of the hash digest, h[57],...,h[113].
1. SHAKE256（x、114）を使用して、57オクテットの秘密鍵をハッシュします。結果のダイジェストをhと示します。前のセクションで説明したように、ダイジェストの前半から秘密スカラーsと対応する公開鍵Aを作成します。 prefixがハッシュダイジェストの後半、h [57]、...、h [113]であることを示します。
2. Compute SHAKE256(dom4(F, C) || prefix || PH(M), 114), where M is the message to be signed, F is 1 for Ed448ph, 0 for Ed448, and C is the context to use. Interpret the 114-octet digest as a little-endian integer r.
2. SHAKE256（dom4（F、C）|| prefix || PH（M）、114）を計算します。Mは署名するメッセージ、FはEd448phの場合は1、Ed448の場合は0、Cは使用するコンテキストです。 114オクテットのダイジェストをリトルエンディアン整数rとして解釈します。
3. Compute the point [r]B. For efficiency, do this by first reducing r modulo L, the group order of B. Let the string R be the encoding of this point.
3. 点[r] Bを計算します。効率を上げるために、まずBのグループ次数であるLを法とするrを減らすことでこれを行います。文字列Rをこのポイントのエンコーディングとします。
4. Compute SHAKE256(dom4(F, C) || R || A || PH(M), 114), and interpret the 114-octet digest as a little-endian integer k.
4. SHAKE256（dom4（F、C）|| R || A || PH（M）、114）を計算し、114オクテットのダイジェストをリトルエンディアン整数kとして解釈します。
5. Compute S = (r + k * s) mod L. For efficiency, again reduce k modulo L first.
5. S =（r + k * s）mod Lを計算します。効率を上げるために、再びLを法とするkを最初に減らします。
6. Form the signature of the concatenation of R (57 octets) and the little-endian encoding of S (57 octets; the ten most significant bits of the final octets are always zero).
6. Rの連結の署名（57オクテット）とSのリトルエンディアンエンコード（57オクテット。最後のオクテットの上位10ビットは常にゼロ）を形成します。
1. To verify a signature on a message M using context C and public key A, with F being 0 for Ed448 and 1 for Ed448ph, first split the signature into two 57-octet halves. Decode the first half as a point R, and the second half as an integer S, in the range 0 <= s < L. Decode the public key A as point A'. If any of the decodings fail (including S being out of range), the signature is invalid.
1. コンテキストCと公開鍵Aを使用してメッセージMの署名を検証するには、FがEd448phの場合は0、Ed448phの場合は1とし、最初に署名を2つの57オクテットの半分に分割します。前半をポイントRとして、後半を整数Sとして、0 <= s <Lの範囲でデコードします。公開鍵AをポイントA 'としてデコードします。デコードのいずれかが失敗した場合（Sが範囲外であることを含む）、署名は無効です。
2. Compute SHAKE256(dom4(F, C) || R || A || PH(M), 114), and interpret the 114-octet digest as a little-endian integer k.
2. SHAKE256（dom4（F、C）|| R || A || PH（M）、114）を計算し、114オクテットのダイジェストをリトルエンディアン整数kとして解釈します。
3. Check the group equation [4][S]B = [4]R + [4][k]A'. It's sufficient, but not required, to instead check [S]B = R + [k]A'.
3. グループ方程式[4] [S] B = [4] R + [4] [k] A 'を確認してください。代わりに[S] B = R + [k] A 'をチェックするだけで十分ですが、必須ではありません。
The rest of this section describes how Ed25519 can be implemented in Python (version 3.2 or later) for illustration. See Appendix A for the complete implementation and Appendix B for a test-driver to run it through some test vectors.
このセクションの残りの部分では、説明のためにPython（バージョン3.2以降）でEd25519を実装する方法について説明します。完全な実装については付録Aを、テストドライバーを実行するテストドライバーについては付録Bを参照してください。
Note that this code is not intended for production as it is not proven to be correct for all inputs, nor does it protect against side-channel attacks. The purpose is to illustrate the algorithm to help implementers with their own implementation.
このコードはすべての入力に対して正しいことが証明されておらず、サイドチャネル攻撃から保護されていないため、本番用ではありません。目的は、独自の実装で実装者を支援するアルゴリズムを説明することです。
## First, some preliminaries that will be needed.
##最初に、必要になるいくつかの予備知識。
import hashlib
hashlibのインポート
def sha512(s):
return hashlib.sha512(s).digest()
# Base field Z_p
p = 2**255 - 19
def modp_inv(x): return pow(x, p-2, p)
def modp_inv（x）：pow（x、p-2、p）を返す
# Curve constant
d = -121665 * modp_inv(121666) % p
# Group order
q = 2**252 + 27742317777372353535851937790883648493
def sha512_modq(s):
return int.from_bytes(sha512(s), "little") % q
## Then follows functions to perform point operations.
##次に、ポイント操作を実行する関数に従います。
# Points are represented as tuples (X, Y, Z, T) of extended
# coordinates, with x = X/Z, y = Y/Z, x*y = T/Z
def point_add(P, Q):
A, B = (P[1]-P[0]) * (Q[1]-Q[0]) % p, (P[1]+P[0]) * (Q[1]+Q[0]) % p;
C, D = 2 * P[3] * Q[3] * d % p, 2 * P[2] * Q[2] % p;
E, F, G, H = B-A, D-C, D+C, B+A;
return (E*F, G*H, F*G, E*H);
# Computes Q = s * Q
def point_mul(s, P):
Q = (0, 1, 1, 0) # Neutral element
while s > 0:
if s & 1:
Q = point_add(Q, P)
P = point_add(P, P)
s >>= 1
return Q
def point_equal(P, Q):
# x1 / z1 == x2 / z2 <==> x1 * z2 == x2 * z1
if (P[0] * Q[2] - Q[0] * P[2]) % p != 0:
return False
if (P[1] * Q[2] - Q[1] * P[2]) % p != 0:
return False
return True
## Now follows functions for point compression.
##ポイント圧縮の関数に従います。
# Square root of -1
modp_sqrt_m1 = pow(2, (p-1) // 4, p)
# Compute corresponding x-coordinate, with low bit corresponding to
# sign, or return None on failure
def recover_x(y, sign):
if y >= p:
return None
x2 = (y*y-1) * modp_inv(d*y*y+1)
if x2 == 0:
if sign:
return None
else:
return 0
# Compute square root of x2
x = pow(x2, (p+3) // 8, p)
if (x*x - x2) % p != 0:
x = x * modp_sqrt_m1 % p
if (x*x - x2) % p != 0:
return None
if (x & 1) != sign:
x = p - x
return x
# Base point
g_y = 4 * modp_inv(5) % p
g_x = recover_x(g_y, 0)
G = (g_x, g_y, 1, g_x * g_y % p)
def point_compress(P):
zinv = modp_inv(P[2])
x = P[0] * zinv % p
y = P[1] * zinv % p
return int.to_bytes(y | ((x & 1) << 255), 32, "little")
def point_decompress(s):
if len(s) != 32:
raise Exception("Invalid input length for decompression")
y = int.from_bytes(s, "little")
sign = y >> 255
y &= (1 << 255) - 1
x = recover_x(y, sign) if x is None: return None else: return (x, y, 1, x*y % p)
x = recover_x（y、sign）xがNoneの場合：return None else：return（x、y、1、x * y％p）
## These are functions for manipulating the private key.
##秘密鍵を操作するための関数です。
def secret_expand(secret):
if len(secret) != 32:
raise Exception("Bad size of private key")
h = sha512(secret)
a = int.from_bytes(h[:32], "little")
a &= (1 << 254) - 8
a |= (1 << 254)
return (a, h[32:])
def secret_to_public(secret):
(a, dummy) = secret_expand(secret)
return point_compress(point_mul(a, G))
## The signature function works as below.
##署名関数は以下のように機能します。
def sign(secret, msg):
a, prefix = secret_expand(secret)
A = point_compress(point_mul(a, G))
r = sha512_modq(prefix + msg)
R = point_mul(r, G)
Rs = point_compress(R)
h = sha512_modq(Rs + A + msg)
s = (r + h * a) % q
return Rs + int.to_bytes(s, 32, "little")
## And finally the verification function.
##そして最後に検証機能。
def verify(public, msg, signature):
if len(public) != 32:
raise Exception("Bad public key length")
if len(signature) != 64:
Exception("Bad signature length")
A = point_decompress(public)
if not A:
return False
Rs = signature[:32]
R = point_decompress(Rs)
if not R:
return False
s = int.from_bytes(signature[32:], "little")
if s >= q: return False
h = sha512_modq(Rs + public + msg)
sB = point_mul(s, G)
hA = point_mul(h, A)
return point_equal(sB, point_add(R, hA))
This section contains test vectors for Ed25519ph, Ed25519ctx, Ed448ph, Ed25519, and Ed448.
このセクションには、Ed25519ph、Ed25519ctx、Ed448ph、Ed25519、およびEd448のテストベクタが含まれています。
Each section contains a sequence of test vectors. The octets are hex encoded, and whitespace is inserted for readability. Ed25519, Ed25519ctx, and Ed25519ph private and public keys are 32 octets; signatures are 64 octets. Ed448 and Ed448ph private and public keys are 57 octets; signatures are 114 octets. Messages are of arbitrary length. If the context is non-empty, it is given as 1-255 octets.
各セクションには、一連のテストベクトルが含まれています。オクテットは16進数でエンコードされ、読みやすくするために空白が挿入されます。 Ed25519、Ed25519ctx、およびEd25519phの秘密鍵と公開鍵は32オクテットです。シグニチャは64オクテットです。 Ed448とEd448phの秘密鍵と公開鍵は57オクテットです。署名は114オクテットです。メッセージは任意の長さです。コンテキストが空でない場合、1〜255オクテットとして指定されます。
These test vectors are taken from [ED25519-TEST-VECTORS] (but we removed the public key as a suffix of the private key and removed the message from the signature) and [ED25519-LIBGCRYPT-TEST-VECTORS].
これらのテストベクタは[ED25519-TEST-VECTORS]（ただし、秘密鍵のサフィックスとして公開鍵を削除し、署名からメッセージを削除しました）と[ED25519-LIBGCRYPT-TEST-VECTORS]から取得しています。
-----TEST 1
ALGORITHM: Ed25519
アルゴリズム：Ed25519
SECRET KEY:
9d61b19deffd5a60ba844af492ec2cc4
4449c5697b326919703bac031cae7f60
PUBLIC KEY:
d75a980182b10ab7d54bfed3c964073a
0ee172f3daa62325af021a68f707511a
MESSAGE (length 0 bytes):
メッセージ（長さ0バイト）：
SIGNATURE:
e5564300c360ac729086e2cc806e828a
84877f1eb8e5d974d873e06522490155
5fb8821590a33bacc61e39701cf9b46b
d25bf5f0595bbe24655141438e7a100b
-----TEST 2
ALGORITHM: Ed25519
アルゴリズム：Ed25519
SECRET KEY:
4ccd089b28ff96da9db6c346ec114e0f
5b8a319f35aba624da8cf6ed4fb8a6fb
PUBLIC KEY:
3d4017c3e843895a92b70aa74d1b7ebc
9c982ccf2ec4968cc0cd55f12af4660c
MESSAGE (length 1 byte): 72
メッセージ（長さ1バイト）：72
SIGNATURE:
92a009a9f0d4cab8720e820b5f642540
a2b27b5416503f8fb3762223ebdb69da
085ac1e43e15996e458f3613d0f11d8c
387b2eaeb4302aeeb00d291612bb0c00
-----TEST 3
ALGORITHM: Ed25519
アルゴリズム：Ed25519
SECRET KEY:
c5aa8df43f9f837bedb7442f31dcb7b1
66d38535076f094b85ce3a2e0b4458f7
PUBLIC KEY:
fc51cd8e6218a1a38da47ed00230f058
0816ed13ba3303ac5deb911548908025
MESSAGE (length 2 bytes): af82
メッセージ（長さ2バイト）：af82
SIGNATURE:
6291d657deec24024827e69c3abe01a3
0ce548a284743a445e3680d7db5ac3ac
18ff9b538d16f290ae67f760984dc659
4a7c15e9716ed28dc027beceea1ec40a
-----TEST 1024
ALGORITHM: Ed25519
アルゴリズム：Ed25519
SECRET KEY:
f5e5767cf153319517630f226876b86c
8160cc583bc013744c6bf255f5cc0ee5
PUBLIC KEY:
278117fc144c72340f67d0f2316e8386
ceffbf2b2428c9c51fef7c597f1d426e
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-----
-----TEST abc
ALGORITHM: Ed448ph
アルゴリズム：Ed448ph
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-----TEST abc (with context)
ALGORITHM: Ed448ph
ALGORITHM: Ed448ph
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MESSAGE (length 3 bytes): 616263
メッセージ（長さ3バイト）：616263
CONTEXT: 666f6f
コンテキスト：666f6f
SIGNATURE:
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2100
-----
For implementations performing signatures, secrecy of the private key is fundamental. It is possible to protect against some side-channel attacks by ensuring that the implementation executes exactly the same sequence of instructions and performs exactly the same memory accesses, for any value of the private key.
For implementations performing signatures, secrecy of the private key is fundamental. It is possible to protect against some side-channel attacks by ensuring that the implementation executes exactly the same sequence of instructions and performs exactly the same memory accesses, for any value of the private key.
To make an implementation side-channel silent in this way, the modulo p arithmetic must not use any data-dependent branches, e.g., related to carry propagation. Side-channel silent point addition is straightforward, thanks to the unified formulas.
この方法で実装サイドチャネルをサイレントにするには、pを法とする算術演算で、たとえばキャリー伝播に関連するデータ依存分岐を使用してはなりません。統一された公式のおかげで、サイドチャネルのサイレントポイントの追加は簡単です。
Scalar multiplication, multiplying a point by an integer, needs some additional effort to implement in a side-channel silent manner. One simple approach is to implement a side-channel silent conditional assignment, and use it together with the binary algorithm to examine one bit of the integer at a time.
ポイントを整数で乗算するスカラー乗算は、サイドチャネルサイレント方式で実装するために追加の作業が必要です。簡単な方法の1つは、サイドチャネルのサイレント条件付き割り当てを実装し、それをバイナリアルゴリズムと共に使用して、整数の1ビットを一度に調べることです。
Compared to other signature schemes, avoiding data-dependent branches is easier due to side-channel silent modulo p arithmetic being easier (with recommended curves) and having complete addition formulas instead of having a number of special cases.
他の署名方式と比較して、サイドチャネルサイレントモジュロp演算が（推奨曲線を使用して）簡単になり、いくつかの特殊なケースの代わりに完全な加算式を使用できるため、データ依存の分岐を回避することがより簡単になります。
Note that the example implementations in this document do not attempt to be side-channel silent.
このドキュメントの実装例は、サイドチャネルサイレントになることを意図していないことに注意してください。
EdDSA signatures are deterministic. This protects against attacks arising from signing with bad randomness; the effects of which can, depending on the algorithm, range up to full private key compromise. It can be surprisingly hard to ensure good-quality random numbers, and there have been numerous security failures relating to this.
EdDSA署名は確定的です。これにより、ランダム性の悪い署名に起因する攻撃から保護されます。その影響は、アルゴリズムに応じて、完全な秘密鍵の侵害まで及ぶ可能性があります。高品質の乱数を保証することは驚くほど難しい場合があり、これに関連して多くのセキュリティ障害が発生しています。
Obviously, private key generation requires randomness, but due to the fact that the private key is hashed before use, a few missing bits of entropy doesn't constitute a disaster.
明らかに、秘密鍵の生成にはランダム性が必要ですが、秘密鍵は使用前にハッシュされるので、エントロピーのいくつかの欠落ビットは災害にはなりません。
The basic signature verification is also deterministic. However, some speedups by verifying multiple signatures at once do require random numbers.
基本的な署名の検証も確定的です。ただし、一度に複数の署名を検証することによる高速化には、乱数が必要です。
Contexts can be used to separate uses of the protocol between different protocols (which is very hard to reliably do otherwise) and between different uses within the same protocol. However, the following SHOULD be kept in mind when using this facility:
コンテキストを使用して、プロトコルの使用を異なるプロトコル間（他の方法で確実に行うのは非常に難しい）と、同じプロトコル内の異なる使用間で分離できます。ただし、この機能を使用するときは、次のことに注意してください。
The context SHOULD be a constant string specified by the protocol using it. It SHOULD NOT incorporate variable elements from the message itself.
コンテキストは、それを使用するプロトコルで指定された定数文字列である必要があります（SHOULD）。メッセージ自体からの可変要素を組み込むべきではありません。
Contexts SHOULD NOT be used opportunistically, as that kind of use is very error prone. If contexts are used, one SHOULD require all signature schemes available for use in that purpose support contexts.
そのような使用は非常にエラーが発生しやすいので、コンテキストは日和見的に使用すべきではありません。コンテキストが使用される場合、1つのSHOULDは、その目的のサポートコンテキストで使用できるすべての署名方式を必要とします。
Contexts are an extra input, which percolate out of APIs; as such, even if the signature scheme supports contexts, those may not be available for use. This problem is compounded by the fact that many times the application is not invoking the signing and verification functions directly but via some other protocol.
コンテキストは追加の入力であり、APIから浸透します。そのため、署名スキームがコンテキストをサポートしていても、それらは使用できない場合があります。この問題は、多くの場合、アプリケーションが署名および検証機能を直接呼び出すのではなく、他のプロトコルを介して呼び出すという事実によってさらに悪化します。
Some systems assume signatures are not malleable: that is, given a valid signature for some message under some key, the attacker can't produce another valid signature for the same message and key.
一部のシステムでは、署名は順応性がないと見なされます。つまり、あるキーの下にあるメッセージの有効な署名がある場合、攻撃者は同じメッセージとキーに別の有効な署名を作成できません。
Ed25519 and Ed448 signatures are not malleable due to the verification check that decoded S is smaller than l. Without this check, one can add a multiple of l into a scalar part and still pass signature verification, resulting in malleable signatures.
Ed25519とEd448の署名は、デコードされたSがlより小さいことの検証チェックのため、順応性がありません。このチェックがなければ、1の倍数をスカラー部分に追加しても、署名の検証に合格し、その結果、署名が柔軟になります。
Ed25519 and Ed25519ph have a nominal strength of 128 bits, whereas Ed448 and Ed448ph have the strength of 224. While the lower strength is sufficient for the foreseeable future, the higher level brings some defense against possible future cryptographic advances. Both are demolished by quantum computers just about the same.
Ed25519とEd25519phの公称強度は128ビットですが、Ed448とEd448phの強度は224です。強度が低いと予測可能な将来には十分ですが、レベルが高いと、将来の暗号化の進歩に対するある程度の防御になります。どちらもほぼ同じ量子コンピューターによって破壊されます。
The Ed25519ph and Ed448ph variants are prehashed. This is mainly useful for interoperation with legacy APIs, since in most of the cases, either the amount of data signed is not large or the protocol is in the position to do digesting in ways better than just prehashing (e.g., tree hashing or splitting the data). The prehashing also makes the functions greatly more vulnerable to weaknesses in hash functions used. These variants SHOULD NOT be used.
Ed25519phおよびEd448phバリアントはプリハッシュされています。これは主に、レガシーAPIとの相互運用に役立ちます。ほとんどの場合、署名されたデータの量が大きくないか、プロトコルが単なるハッシュよりも優れた方法でダイジェストを行うことができるためです（たとえば、ツリーハッシュやデータ）。また、プリハッシュは、使用されるハッシュ関数の弱点に対して関数を非常に脆弱にします。これらのバリアントは使用しないでください。
Ed25519ctx and Ed448 have contexts. However, this is balanced by the problems noted in Section 8.3 about contexts.
Ed25519ctx and Ed448 have contexts. However, this is balanced by the problems noted in Section 8.3 about contexts.
On the implementation front, Ed25519 is widely implemented and has many high-quality implementations. The others have much worse support.
On the implementation front, Ed25519 is widely implemented and has many high-quality implementations. The others have much worse support.
In summary, if a high 128-bit security level is enough, use of Ed25519 is RECOMMENDED; otherwise, Ed448 is RECOMMENDED.
要約すると、高い128ビットセキュリティレベルで十分な場合は、Ed25519の使用をお勧めします。それ以外の場合は、Ed448をお勧めします。
The schemes described in this document are designed to be resistant to mixing prehashes. That is, it is infeasible to find a message that verifies using the same signature under another scheme, even if the original signed message was chosen. Thus, one can use the same key pair for Ed25519, Ed25519ctx, and Ed25519ph and correspondingly with Ed448 and Ed448ph.
このドキュメントで説明されているスキームは、プリハッシュの混合に耐性があるように設計されています。つまり、元の署名付きメッセージが選択された場合でも、別のスキームで同じ署名を使用して検証するメッセージを見つけることは不可能です。したがって、Ed25519、Ed25519ctx、およびEd25519phに同じキーペアを使用でき、Ed448およびEd448phにも対応できます。
The "SigEd25519 no Ed25519 collisions" constant is chosen to be a textual string such that it does not decode as a point. Because the inner hash input in the Ed25519 signature always starts with a valid point, there is no way trivial collision can be constructed. In the case of seed hash, trivial collisions are so unlikely, even with an attacker choosing all inputs, that it is much more probable that something else goes catastrophically wrong.
The "SigEd25519 no Ed25519 collisions" constant is chosen to be a textual string such that it does not decode as a point. Because the inner hash input in the Ed25519 signature always starts with a valid point, there is no way trivial collision can be constructed. In the case of seed hash, trivial collisions are so unlikely, even with an attacker choosing all inputs, that it is much more probable that something else goes catastrophically wrong.
Avoid signing large amounts of data at once (where "large" depends on the expected verifier). In particular, unless the underlying protocol does not require it, the receiver MUST buffer the entire message (or enough information to reconstruct it, e.g., compressed or encrypted version) to be verified.
大量のデータに一度に署名することは避けてください（「大きな」は予期される検証に依存します）。特に、基礎となるプロトコルがそれを必要としない限り、受信者は検証するためにメッセージ全体（またはメッセージを再構築するのに十分な情報、たとえば圧縮または暗号化されたバージョン）をバッファリングする必要があります。
This is needed because most of the time, it is unsafe to process unverified data, and verifying the signature makes a pass through the whole message, causing ultimately at least two passes through.
これが必要なのは、ほとんどの場合、未検証のデータを処理することは危険であり、署名を検証するとメッセージ全体が通過し、最終的には少なくとも2つの通過が発生するためです。
As an API consideration, this means that any Initialize Update Finalize (IFU) verification interface is prone to misuse.
APIの考慮事項として、これは、初期化、更新、ファイナライズ（IFU）検証インターフェースが誤用されやすいことを意味します。
It is a bad idea to modify Ed25519 or Ed448 signing to be able to create valid Ed25519/Ed448 signatures using an IUF interface with only constant buffering. Pretty much any error in such would cause catastrophic security failure.
定数バッファリングのみのIUFインターフェイスを使用して有効なEd25519 / Ed448署名を作成できるようにEd25519またはEd448署名を変更することは悪い考えです。このようなエラーのほとんどは、致命的なセキュリティ障害を引き起こします。
The given verification formulas for both Ed25519 and Ed448 multiply points by the cofactor. While this is not strictly necessary for security (in fact, any signature that meets the non-multiplied equation will satisfy the multiplied one), in some applications it is undesirable for implementations to disagree about the exact set of valid signatures. Such disagreements could open up, e.g., fingerprinting attacks.
Ed25519とEd448の両方に指定された検証式は、ポイントに補因子を乗算します。これはセキュリティのために厳密に必要なわけではありませんが（実際、乗算されていない式を満たす署名はすべて、乗算された式を満たします）、一部のアプリケーションでは、実装が有効な署名の正確なセットについて同意しないことが望ましくありません。そのような不一致は、たとえば、フィンガープリント攻撃を引き起こす可能性があります。
Ed448 uses SHAKE256 as a hash function, even if SHAKE256 is specifically defined not to be a hash function.
Ed448は、SHAKE256がハッシュ関数ではないと明確に定義されている場合でも、SHAKE256をハッシュ関数として使用します。
The first potentially troublesome property is that shorter outputs are prefixes of longer ones. This is acceptable because output lengths are fixed.
最初の潜在的に厄介な特性は、短い出力が長い出力のプレフィックスであるということです。出力の長さが固定されているため、これは許容範囲です。
The second potentially troublesome property is failing to meet standard hash security notions (especially with preimages). However, the estimated 256-bit security level against collisions and preimages is sufficient to pair with a 224-bit level elliptic curve.
問題になる可能性のある2つ目のプロパティは、標準のハッシュセキュリティの概念（特にプリイメージの場合）を満たしていないことです。ただし、衝突およびプリイメージに対する推定256ビットのセキュリティレベルは、224ビットレベルの楕円曲線と組み合わせるのに十分です。
[FIPS202] National Institute of Standards and Technology, "SHA-3 Standard: Permutation-Based Hash and Extendable-Output Functions", FIPS PUB 202, August 2015, <http://dx.doi.org/10.6028/NIST.FIPS.202>.
[FIPS202]米国国立標準技術研究所、「SHA-3標準：順列ベースのハッシュおよび拡張可能な出力関数」、FIPS PUB 202、2015年8月、<http://dx.doi.org/10.6028/NIST.FIPS .202>。
[RFC2119] Bradner, S., "Key words for use in RFCs to Indicate Requirement Levels", BCP 14, RFC 2119, DOI 10.17487/RFC2119, March 1997, <http://www.rfc-editor.org/info/rfc2119>.
[RFC2119] Bradner, S., "Key words for use in RFCs to Indicate Requirement Levels", BCP 14, RFC 2119, DOI 10.17487/RFC2119, March 1997, <http://www.rfc-editor.org/info/rfc2119>.
[RFC6234] Eastlake 3rd, D. and T. Hansen, "US Secure Hash Algorithms (SHA and SHA-based HMAC and HKDF)", RFC 6234, DOI 10.17487/RFC6234, May 2011, <http://www.rfc-editor.org/info/rfc6234>.
[RFC6234] Eastlake 3rd、D。およびT. Hansen、「US Secure Hash Algorithms（SHA and SHA-based HMAC and HKDF）」、RFC 6234、DOI 10.17487 / RFC6234、2011年5月、<http：//www.rfc- editor.org/info/rfc6234>。
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[EFD-ADD] Bernstein、D.およびT. Lange、「エドワーズ曲線の射影座標」、「add-2007-bl」加算式、2007年、<http://www.hyperelliptic.org/EFD/g1p/ auto-edwards-projective.html＃addition-add-2007-bl>。
[EFD-DBL] Bernstein, D. and T. Lange, "Projective coordinates for Edwards curves", The 'dbl-2007-bl' doubling formulas, 2007, <http://www.hyperelliptic.org/EFD/g1p/ auto-edwards-projective.html#doubling-dbl-2007-bl>.
[EFD-DBL]バーンスタインD.およびT.ランゲ、「エドワーズ曲線の射影座標」、「dbl-2007-bl」ダブリング式、2007年、<http://www.hyperelliptic.org/EFD/g1p/ auto-edwards-projective.html＃doubling-dbl-2007-bl>。
[EFD-TWISTED-ADD] Hisil, H., Wong, K., Carter, G., and E. Dawson, "Extended coordinates with a=-1 for twisted Edwards curves", The 'add-2008-hwcd-3' addition formulas, December 2008, <http://www.hyperelliptic.org/EFD/g1p/ auto-twisted-extended-1.html#addition-add-2008-hwcd-3>.
[EFD-TWISTED-ADD] Hisil、H.、Wong、K.、Carter、G。、およびE. Dawson、「ねじれたエドワーズ曲線の場合、a = -1の拡張座標」、「add-2008-hwcd-3 '追加式、2008年12月、<http://www.hyperelliptic.org/EFD/g1p/ auto-twisted-extended-1.html＃addition-add-2008-hwcd-3>。
[EFD-TWISTED-DBL] Hisil, H., Wong, K., Carter, G., and E. Dawson, "Extended coordinates with a=-1 for twisted Edwards curves", The 'dbl-2008-hwcd' doubling formulas, December 2008, <http://www.hyperelliptic.org/EFD/g1p/ auto-twisted-extended-1.html#doubling-dbl-2008-hwcd>.
[EFD-TWISTED-DBL] Hisil、H.、Wong、K.、Carter、G。、およびE. Dawson、「ねじれたエドワーズ曲線の場合、a = -1の拡張座標」、「dbl-2008-hwcd」の倍増式、2008年12月、<http://www.hyperelliptic.org/EFD/g1p/ auto-twisted-extended-1.html＃doubling-dbl-2008-hwcd>。
[Faster-ECC] Bernstein, D. and T. Lange, "Faster addition and doubling on elliptic curves", DOI 10.1007/978-3-540-76900-2_3, July 2007, <http://eprint.iacr.org/2007/286>.
[Faster-ECC] Bernstein、D.とT. Lange、「楕円曲線でのFaster加算と倍加」、DOI 10.1007 / 978-3-540-76900-2_3、2007年7月、<http://eprint.iacr.org / 2007/286>。
[RFC4086] Eastlake 3rd, D., Schiller, J., and S. Crocker, "Randomness Requirements for Security", BCP 106, RFC 4086, DOI 10.17487/RFC4086, June 2005, <http://www.rfc-editor.org/info/rfc4086>.
[RFC4086] Eastlake 3rd、D.、Schiller、J.、and S. Crocker、 "Randomness Requirements for Security"、BCP 106、RFC 4086、DOI 10.17487 / RFC4086、June 2005、<http：//www.rfc-editor .org / info / rfc4086>。
Appendix A. Ed25519/Ed448 Python Library
Appendix A. Ed25519/Ed448 Python Library
Below is an example implementation of Ed25519/Ed448 written in Python; version 3.2 or higher is required.
以下はPythonで書かれたEd25519 / Ed448の実装例です。バージョン3.2以降が必要です。
Note: This code is not intended for production. Although it should produce correct results for every input, it is slow and makes no attempt to avoid side-channel attacks.
注：このコードは実稼働用ではありません。すべての入力に対して正しい結果を生成するはずですが、速度が遅く、サイドチャネル攻撃を回避しようとはしません。
import hashlib;
import os;
#Compute candidate square root of x modulo p, with p = 3 (mod 4).
def sqrt4k3(x,p): return pow(x,(p + 1)//4,p)
#Compute candidate square root of x modulo p, with p = 5 (mod 8).
def sqrt8k5(x,p):
y = pow(x,(p+3)//8,p)
#If the square root exists, it is either y or y*2^(p-1)/4.
if (y * y) % p == x % p: return y
else:
z = pow(2,(p - 1)//4,p)
return (y * z) % p
#Decode a hexadecimal string representation of the integer.
def hexi(s): return int.from_bytes(bytes.fromhex(s),byteorder="big")
#Rotate a word x by b places to the left.
def rol(x,b): return ((x << b) | (x >> (64 - b))) & (2**64-1)
#From little endian.
def from_le(s): return int.from_bytes(s, byteorder="little")
#Do the SHA-3 state transform on state s.
def sha3_transform(s):
ROTATIONS = [0,1,62,28,27,36,44,6,55,20,3,10,43,25,39,41,45,15,\
21,8,18,2,61,56,14]
PERMUTATION = [1,6,9,22,14,20,2,12,13,19,23,15,4,24,21,8,16,5,3,\
18,17,11,7,10]
RC = [0x0000000000000001,0x0000000000008082,0x800000000000808a,\
0x8000000080008000,0x000000000000808b,0x0000000080000001,\
0x8000000080008081,0x8000000000008009,0x000000000000008a,\
0x0000000000000088,0x0000000080008009,0x000000008000000a,\
0x000000008000808b,0x800000000000008b,0x8000000000008089,\
0x8000000000008003,0x8000000000008002,0x8000000000000080,\
0x000000000000800a,0x800000008000000a,0x8000000080008081,\
0x8000000000008080,0x0000000080000001,0x8000000080008008]
for rnd in range(0,24):
#AddColumnParity (Theta)
c = [0]*5;
d = [0]*5;
for i in range(0,25): c[i%5]^=s[i]
for i in range(0,5): d[i]=c[(i+4)%5]^rol(c[(i+1)%5],1)
for i in range(0,25): s[i]^=d[i%5]
#RotateWords (Rho)
for i in range(0,25): s[i]=rol(s[i],ROTATIONS[i])
#PermuteWords (Pi)
t = s[PERMUTATION[0]]
for i in range(0,len(PERMUTATION)-1):
s[PERMUTATION[i]]=s[PERMUTATION[i+1]]
s[PERMUTATION[-1]]=t;
#NonlinearMixRows (Chi)
for i in range(0,25,5):
t=[s[i],s[i+1],s[i+2],s[i+3],s[i+4],s[i],s[i+1]]
for j in range(0,5): s[i+j]=t[j]^((~t[j+1])&(t[j+2]))
#AddRoundConstant (Iota)
s[0]^=RC[rnd]
#Reinterpret octet array b to word array and XOR it to state s.
def reinterpret_to_words_and_xor(s,b):
for j in range(0,len(b)//8):
s[j]^=from_le(b[8*j:][:8])
#Reinterpret word array w to octet array and return it.
def reinterpret_to_octets(w):
mp=bytearray()
for j in range(0,len(w)):
mp+=w[j].to_bytes(8,byteorder="little")
return mp
#(semi-)generic SHA-3 implementation
def sha3_raw(msg,r_w,o_p,e_b):
r_b=8*r_w
s=[0]*25
#Handle whole blocks.
idx=0
blocks=len(msg)//r_b
for i in range(0,blocks):
reinterpret_to_words_and_xor(s,msg[idx:][:r_b])
idx+=r_b
sha3_transform(s)
#Handle last block padding.
m=bytearray(msg[idx:])
m.append(o_p)
while len(m) < r_b: m.append(0)
m[len(m)-1]|=128
#Handle padded last block.
reinterpret_to_words_and_xor(s,m)
sha3_transform(s)
#Output.
out = bytearray()
while len(out)<e_b:
out+=reinterpret_to_octets(s[:r_w])
sha3_transform(s)
return out[:e_b]
#Implementation of SHAKE256 functions.
def shake256(msg,olen): return sha3_raw(msg,17,31,olen)
#A (prime) field element.
class Field:
#Construct number x (mod p).
def __init__(self,x,p):
self.__x=x%p
self.__p=p
#Check that fields of self and y are the same.
def __check_fields(self,y):
if type(y) is not Field or self.__p!=y.__p:
raise ValueError("Fields don't match")
#Field addition. The fields must match.
def __add__(self,y):
self.__check_fields(y)
return Field(self.__x+y.__x,self.__p)
#Field subtraction. The fields must match.
def __sub__(self,y):
self.__check_fields(y)
return Field(self.__p+self.__x-y.__x,self.__p)
#Field negation.
def __neg__(self):
return Field(self.__p-self.__x,self.__p)
#Field multiplication. The fields must match.
def __mul__(self,y):
self.__check_fields(y)
return Field(self.__x*y.__x,self.__p)
#Field division. The fields must match.
def __truediv__(self,y):
return self*y.inv()
#Field inverse (inverse of 0 is 0).
def inv(self):
return Field(pow(self.__x,self.__p-2,self.__p),self.__p)
#Field square root. Returns none if square root does not exist.
#Note: not presently implemented for p mod 8 = 1 case.
def sqrt(self):
#Compute candidate square root.
if self.__p%4==3: y=sqrt4k3(self.__x,self.__p)
elif self.__p%8==5: y=sqrt8k5(self.__x,self.__p)
else: raise NotImplementedError("sqrt(_,8k+1)")
_y=Field(y,self.__p);
#Check square root candidate valid.
return _y if _y*_y==self else None
#Make the field element with the same field as this, but
#with a different value.
def make(self,ival): return Field(ival,self.__p)
#Is the field element the additive identity?
def iszero(self): return self.__x==0
#Are field elements equal?
def __eq__(self,y): return self.__x==y.__x and self.__p==y.__p
#Are field elements not equal?
def __ne__(self,y): return not (self==y)
#Serialize number to b-1 bits.
def tobytes(self,b):
return self.__x.to_bytes(b//8,byteorder="little")
#Unserialize number from bits.
def frombytes(self,x,b):
rv=from_le(x)%(2**(b-1))
return Field(rv,self.__p) if rv<self.__p else None
#Compute sign of number, 0 or 1. The sign function
#has the following property:
#sign(x) = 1 - sign(-x) if x != 0.
def sign(self): return self.__x%2
#A point on (twisted) Edwards curve.
class EdwardsPoint:
#base_field = None
#x = None
#y = None
#z = None
def initpoint(self, x, y):
self.x=x
self.y=y
self.z=self.base_field.make(1)
def decode_base(self,s,b):
#Check that point encoding is the correct length.
if len(s)!=b//8: return (None,None)
#Extract signbit.
xs=s[(b-1)//8]>>((b-1)&7)
#Decode y. If this fails, fail.
y = self.base_field.frombytes(s,b)
if y is None: return (None,None)
#Try to recover x. If it does not exist, or if zero and xs
#are wrong, fail.
x=self.solve_x2(y).sqrt()
if x is None or (x.iszero() and xs!=x.sign()):
return (None,None)
#If sign of x isn't correct, flip it.
if x.sign()!=xs: x=-x
# Return the constructed point.
return (x,y)
def encode_base(self,b):
xp,yp=self.x/self.z,self.y/self.z
#Encode y.
s=bytearray(yp.tobytes(b))
#Add sign bit of x to encoding.
if xp.sign()!=0: s[(b-1)//8]|=1<<(b-1)%8
return s
def __mul__(self,x):
r=self.zero_elem()
s=self
while x > 0:
if (x%2)>0:
r=r+s
s=s.double()
x=x//2
return r
#Check that two points are equal.
def __eq__(self,y):
#Need to check x1/z1 == x2/z2 and similarly for y, so cross
#multiply to eliminate divisions.
xn1=self.x*y.z
xn2=y.x*self.z
yn1=self.y*y.z
yn2=y.y*self.z
return xn1==xn2 and yn1==yn2
#Check if two points are not equal.
def __ne__(self,y): return not (self==y)
#A point on Edwards25519.
class Edwards25519Point(EdwardsPoint):
#Create a new point on the curve.
base_field=Field(1,2**255-19)
d=-base_field.make(121665)/base_field.make(121666)
f0=base_field.make(0)
f1=base_field.make(1)
xb=base_field.make(hexi("216936D3CD6E53FEC0A4E231FDD6DC5C692CC76"+\
"09525A7B2C9562D608F25D51A"))
yb=base_field.make(hexi("666666666666666666666666666666666666666"+\
"6666666666666666666666658"))
#The standard base point.
@staticmethod
def stdbase():
return Edwards25519Point(Edwards25519Point.xb,\
Edwards25519Point.yb)
def __init__(self,x,y):
#Check the point is actually on the curve.
if y*y-x*x!=self.f1+self.d*x*x*y*y:
raise ValueError("Invalid point")
self.initpoint(x, y)
self.t=x*y
#Decode a point representation.
def decode(self,s):
x,y=self.decode_base(s,256);
return Edwards25519Point(x, y) if x is not None else None
#Encode a point representation.
def encode(self):
return self.encode_base(256)
#Construct a neutral point on this curve.
def zero_elem(self):
return Edwards25519Point(self.f0,self.f1)
#Solve for x^2.
def solve_x2(self,y):
return ((y*y-self.f1)/(self.d*y*y+self.f1))
#Point addition.
def __add__(self,y):
#The formulas are from EFD.
tmp=self.zero_elem()
zcp=self.z*y.z
A=(self.y-self.x)*(y.y-y.x)
B=(self.y+self.x)*(y.y+y.x)
C=(self.d+self.d)*self.t*y.t
D=zcp+zcp
E,H=B-A,B+A
F,G=D-C,D+C
tmp.x,tmp.y,tmp.z,tmp.t=E*F,G*H,F*G,E*H
return tmp
#Point doubling.
def double(self):
#The formulas are from EFD (with assumption a=-1 propagated).
tmp=self.zero_elem()
A=self.x*self.x
B=self.y*self.y
Ch=self.z*self.z
C=Ch+Ch
H=A+B
xys=self.x+self.y
E=H-xys*xys
G=A-B
F=C+G
tmp.x,tmp.y,tmp.z,tmp.t=E*F,G*H,F*G,E*H
return tmp
#Order of basepoint.
def l(self):
return hexi("1000000000000000000000000000000014def9dea2f79cd"+\
"65812631a5cf5d3ed")
#The logarithm of cofactor.
def c(self): return 3
#The highest set bit
def n(self): return 254
#The coding length
def b(self): return 256
#Validity check (for debugging)
def is_valid_point(self):
x,y,z,t=self.x,self.y,self.z,self.t
x2=x*x
y2=y*y
z2=z*z
lhs=(y2-x2)*z2
rhs=z2*z2+self.d*x2*y2
assert(lhs == rhs)
assert(t*z == x*y)
#A point on Edwards448.
class Edwards448Point(EdwardsPoint):
#Create a new point on the curve.
base_field=Field(1,2**448-2**224-1)
d=base_field.make(-39081)
f0=base_field.make(0)
f1=base_field.make(1)
xb=base_field.make(hexi("4F1970C66BED0DED221D15A622BF36DA9E14657"+\
"0470F1767EA6DE324A3D3A46412AE1AF72AB66511433B80E18B00938E26"+\
"26A82BC70CC05E"))
yb=base_field.make(hexi("693F46716EB6BC248876203756C9C7624BEA737"+\
"36CA3984087789C1E05A0C2D73AD3FF1CE67C39C4FDBD132C4ED7C8AD98"+\
"08795BF230FA14"))
#The standard base point.
@staticmethod
def stdbase():
return Edwards448Point(Edwards448Point.xb,Edwards448Point.yb)
def __init__(self,x,y):
#Check that the point is actually on the curve.
if y*y+x*x!=self.f1+self.d*x*x*y*y:
raise ValueError("Invalid point")
self.initpoint(x, y)
#Decode a point representation.
def decode(self,s):
x,y=self.decode_base(s,456);
return Edwards448Point(x, y) if x is not None else None
#Encode a point representation.
def encode(self):
return self.encode_base(456)
#Construct a neutral point on this curve.
def zero_elem(self):
return Edwards448Point(self.f0,self.f1)
#Solve for x^2.
def solve_x2(self,y):
return ((y*y-self.f1)/(self.d*y*y-self.f1))
#Point addition.
def __add__(self,y):
#The formulas are from EFD.
tmp=self.zero_elem()
xcp,ycp,zcp=self.x*y.x,self.y*y.y,self.z*y.z
B=zcp*zcp
E=self.d*xcp*ycp
F,G=B-E,B+E
tmp.x=zcp*F*((self.x+self.y)*(y.x+y.y)-xcp-ycp)
tmp.y,tmp.z=zcp*G*(ycp-xcp),F*G
return tmp
#Point doubling.
def double(self):
#The formulas are from EFD.
tmp=self.zero_elem()
x1s,y1s,z1s=self.x*self.x,self.y*self.y,self.z*self.z
xys=self.x+self.y
F=x1s+y1s
J=F-(z1s+z1s)
tmp.x,tmp.y,tmp.z=(xys*xys-x1s-y1s)*J,F*(x1s-y1s),F*J
return tmp
#Order of basepoint.
def l(self):
return hexi("3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff"+\
"fffffffff7cca23e9c44edb49aed63690216cc2728dc58f552378c2"+\
"92ab5844f3")
#The logarithm of cofactor.
def c(self): return 2
#The highest set bit.
def n(self): return 447
#The coding length.
def b(self): return 456
#Validity check (for debugging).
def is_valid_point(self):
x,y,z=self.x,self.y,self.z
x2=x*x
y2=y*y
z2=z*z
lhs=(x2+y2)*z2
rhs=z2*z2+self.d*x2*y2
assert(lhs == rhs)
#Simple self-check.
def curve_self_check(point):
p=point
q=point.zero_elem()
z=q
l=p.l()+1
p.is_valid_point()
q.is_valid_point()
for i in range(0,point.b()):
if (l>>i)&1 != 0:
q=q+p
q.is_valid_point()
p=p.double()
p.is_valid_point()
assert q.encode() == point.encode()
assert q.encode() != p.encode()
assert q.encode() != z.encode()
#Simple self-check.
def self_check_curves():
curve_self_check(Edwards25519Point.stdbase())
curve_self_check(Edwards448Point.stdbase())
#PureEdDSA scheme.
#Limitation: only b mod 8 = 0 is handled.
class PureEdDSA:
#Create a new object.
def __init__(self,properties):
self.B=properties["B"]
self.H=properties["H"]
self.l=self.B.l()
self.n=self.B.n()
self.b=self.B.b()
self.c=self.B.c()
#Clamp a private scalar.
def __clamp(self,a):
_a = bytearray(a)
for i in range(0,self.c): _a[i//8]&=~(1<<(i%8))
_a[self.n//8]|=1<<(self.n%8)
for i in range(self.n+1,self.b): _a[i//8]&=~(1<<(i%8))
return _a
#Generate a key. If privkey is None, a random one is generated.
#In any case, the (privkey, pubkey) pair is returned.
def keygen(self,privkey):
#If no private key data is given, generate random.
if privkey is None: privkey=os.urandom(self.b//8)
#Expand key.
khash=self.H(privkey,None,None)
a=from_le(self.__clamp(khash[:self.b//8]))
#Return the key pair (public key is A=Enc(aB).
return privkey,(self.B*a).encode()
#Sign with key pair.
def sign(self,privkey,pubkey,msg,ctx,hflag):
#Expand key.
khash=self.H(privkey,None,None)
a=from_le(self.__clamp(khash[:self.b//8]))
seed=khash[self.b//8:]
#Calculate r and R (R only used in encoded form).
r=from_le(self.H(seed+msg,ctx,hflag))%self.l
R=(self.B*r).encode()
#Calculate h.
h=from_le(self.H(R+pubkey+msg,ctx,hflag))%self.l
#Calculate s.
S=((r+h*a)%self.l).to_bytes(self.b//8,byteorder="little")
#The final signature is a concatenation of R and S.
return R+S
#Verify signature with public key.
def verify(self,pubkey,msg,sig,ctx,hflag):
#Sanity-check sizes.
if len(sig)!=self.b//4: return False
if len(pubkey)!=self.b//8: return False
#Split signature into R and S, and parse.
Rraw,Sraw=sig[:self.b//8],sig[self.b//8:]
R,S=self.B.decode(Rraw),from_le(Sraw)
#Parse public key.
A=self.B.decode(pubkey)
#Check parse results.
if (R is None) or (A is None) or S>=self.l: return False
#Calculate h.
h=from_le(self.H(Rraw+pubkey+msg,ctx,hflag))%self.l
#Calculate left and right sides of check eq.
rhs=R+(A*h)
lhs=self.B*S
for i in range(0, self.c):
lhs = lhs.double()
rhs = rhs.double()
#Check eq. holds?
return lhs==rhs
def Ed25519_inthash(data,ctx,hflag):
if (ctx is not None and len(ctx) > 0) or hflag:
raise ValueError("Contexts/hashes not supported")
return hashlib.sha512(data).digest()
#The base PureEdDSA schemes.
pEd25519=PureEdDSA({\
"B":Edwards25519Point.stdbase(),\
"H":Ed25519_inthash\
})
def Ed25519ctx_inthash(data,ctx,hflag):
dompfx = b""
PREFIX=b"SigEd25519 no Ed25519 collisions"
if ctx is not None:
if len(ctx) > 255: raise ValueError("Context too big")
dompfx=PREFIX+bytes([1 if hflag else 0,len(ctx)])+ctx
return hashlib.sha512(dompfx+data).digest()
pEd25519ctx=PureEdDSA({\
"B":Edwards25519Point.stdbase(),\
"H":Ed25519ctx_inthash\
})
def Ed448_inthash(data,ctx,hflag):
dompfx = b""
if ctx is not None:
if len(ctx) > 255: raise ValueError("Context too big")
dompfx=b"SigEd448"+bytes([1 if hflag else 0,len(ctx)])+ctx
return shake256(dompfx+data,114)
pEd448 = PureEdDSA({\
"B":Edwards448Point.stdbase(),\
"H":Ed448_inthash\
})
#EdDSA scheme.
class EdDSA:
#Create a new scheme object, with the specified PureEdDSA base
#scheme and specified prehash.
def __init__(self,pure_scheme,prehash):
self.__pflag = True
self.__pure=pure_scheme
self.__prehash=prehash
if self.__prehash is None:
self.__prehash = lambda x,y:x
self.__pflag = False
# Generate a key. If privkey is none, it generates a random
# privkey key, otherwise it uses a specified private key.
# Returns pair (privkey, pubkey).
def keygen(self,privkey): return self.__pure.keygen(privkey)
# Sign message msg using specified key pair.
def sign(self,privkey,pubkey,msg,ctx=None):
if ctx is None: ctx=b"";
return self.__pure.sign(privkey,pubkey,self.__prehash(msg,ctx),\
ctx,self.__pflag)
# Verify signature sig on message msg using public key pubkey.
def verify(self,pubkey,msg,sig,ctx=None):
if ctx is None: ctx=b"";
return self.__pure.verify(pubkey,self.__prehash(msg,ctx),sig,\
ctx,self.__pflag)
def Ed448ph_prehash(data,ctx): return shake256(data,64)
def Ed448ph_prehash（data、ctx）：shake256（data、64）を返します
#Our signature schemes.
Ed25519 = EdDSA(pEd25519,None)
Ed25519ctx = EdDSA(pEd25519ctx,None)
Ed25519ph = EdDSA(pEd25519ctx,lambda x,y:hashlib.sha512(x).digest())
Ed448 = EdDSA(pEd448,None)
Ed448ph = EdDSA(pEd448,Ed448ph_prehash)
def eddsa_obj(name):
if name == "Ed25519": return Ed25519
if name == "Ed25519ctx": return Ed25519ctx
if name == "Ed25519ph": return Ed25519ph
if name == "Ed448": return Ed448
if name == "Ed448ph": return Ed448ph
raise NotImplementedError("Algorithm not implemented")
Below is a command-line tool that uses the library above to perform computations for interactive use or for self-checking.
以下は、上記のライブラリを使用して、インタラクティブな使用またはセルフチェックのための計算を実行するコマンドラインツールです。
import sys import binascii
import sys import binascii
from eddsa2 import Ed25519
eddsa2からのインポートEd25519
def munge_string(s, pos, change):
return (s[:pos] +
int.to_bytes(s[pos] ^ change, 1, "little") +
s[pos+1:])
# Read a file in the format of
# http://ed25519.cr.yp.to/python/sign.input
lineno = 0
while True:
line = sys.stdin.readline()
if not line:
break
lineno = lineno + 1
print(lineno)
fields = line.split(":")
secret = (binascii.unhexlify(fields[0]))[:32]
public = binascii.unhexlify(fields[1])
msg = binascii.unhexlify(fields[2])
signature = binascii.unhexlify(fields[3])[:64]
privkey,pubkey = Ed25519.keygen(secret)
assert public == pubkey
assert signature == Ed25519.sign(privkey, pubkey, msg)
assert Ed25519.verify(public, msg, signature)
if len(msg) == 0:
bad_msg = b"x"
else:
bad_msg = munge_string(msg, len(msg) // 3, 4)
assert not Ed25519.verify(public,bad_msg,signature)
assert not Ed25519.verify(public, msg, munge_string(signature,20,8))
assert not Ed25519.verify(public,msg,munge_string(signature,40,16))
Acknowledgements
謝辞
EdDSA and Ed25519 were initially described in a paper due to Daniel J. Bernstein, Niels Duif, Tanja Lange, Peter Schwabe, and Bo-Yin Yang. The Ed448 curve is due to Mike Hamburg.
EdDSA and Ed25519 were initially described in a paper due to Daniel J. Bernstein, Niels Duif, Tanja Lange, Peter Schwabe, and Bo-Yin Yang. The Ed448 curve is due to Mike Hamburg.
An earlier draft version of this document was coauthored by Niels Moeller.
An earlier draft version of this document was coauthored by Niels Moeller.
Feedback on this document was received from Werner Koch, Damien Miller, Bob Bradley, Franck Rondepierre, Alexey Melnikov, Kenny Paterson, and Robert Edmonds.
このドキュメントに関するフィードバックは、Werner Koch、Damien Miller、Bob Bradley、Franck Rondepierre、Alexey Melnikov、Kenny Paterson、およびRobert Edmondsから受け取りました。
The Ed25519 test vectors were double checked by Bob Bradley using three separate implementations (one based on TweetNaCl and two different implementations based on code from SUPERCOP).
Ed25519テストベクトルは、3つの個別の実装（1つはTweetNaClに基づく実装、2つはSUPERCOPのコードに基づく2つの異なる実装）を使用してボブブラッドリーによりダブルチェックされました。
Authors' Addresses
Authors' Addresses
Simon Josefsson SJD AB
サイモン・ジョセフソンSJD AB
Email: simon@josefsson.org
URI: http://josefsson.org/
Ilari Liusvaara Independent
Ilari Liusvaara独立
Email: ilariliusvaara@welho.com